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Theorem 2lplnmj

Description: The meet of two lattice planes is a lattice line iff their join is a lattice volume. (Contributed by NM, 13-Jul-2012)

Ref Expression
Hypotheses 2lplnmj.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
2lplnmj.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
2lplnmj.n ⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
2lplnmj.p ⊢ 𝑃 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
2lplnmj.v ⊢ 𝑉 = ( LVols ‘ 𝐾 )
Assertion 2lplnmj ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝑁 ↔ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 2lplnmj.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
2 2lplnmj.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
3 2lplnmj.n ⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
4 2lplnmj.p ⊢ 𝑃 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
5 2lplnmj.v ⊢ 𝑉 = ( LVols ‘ 𝐾 )
6 simp1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → 𝐾 ∈ HL )
7 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
8 7 4 lplnbase ⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
9 8 3ad2ant2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
10 7 4 lplnbase ⊢ ( 𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
11 10 3ad2ant3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
12 eqid ⊢ ( ⋖ ‘ 𝐾 ) = ( ⋖ ‘ 𝐾 )
13 7 1 2 12 cvrexch ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑌 ↔ 𝑋 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) )
14 6 9 11 13 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑌 ↔ 𝑋 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) )
15 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝑁 ) → 𝐾 ∈ HL )
16 simpr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝑁 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝑁 )
17 simpl3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝑁 ) → 𝑌 ∈ 𝑃 )
18 hllat ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat )
19 eqid ⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
20 7 19 2 latmle2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 )
21 18 8 10 20 syl3an ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 )
22 21 adantr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝑁 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 )
23 19 12 3 4 llncvrlpln2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑌 )
24 15 16 17 22 23 syl31anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝑁 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑌 )
25 simpl3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) → 𝑌 ∈ 𝑃 )
26 7 2 latmcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
27 18 8 10 26 syl3an ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
28 6 27 11 3jca ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) )
29 7 12 3 4 llncvrlpln ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃 ) )
30 28 29 sylan ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃 ) )
31 25 30 mpbird ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝑁 )
32 24 31 impbida ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝑁 ↔ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( ⋖ ‘ 𝐾 ) 𝑌 ) )
33 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) → 𝐾 ∈ HL )
34 simpl2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) → 𝑋 ∈ 𝑃 )
35 simpr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) → ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝑉 )
36 7 19 1 latlej1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) )
37 18 8 10 36 syl3an ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) )
38 37 adantr ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) → 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) )
39 19 12 4 5 lplncvrlvol2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) → 𝑋 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) )
40 33 34 35 38 39 syl31anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) → 𝑋 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) )
41 simpl2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑋 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 )
42 7 1 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑌 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
43 18 8 10 42 syl3an ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
44 6 9 43 3jca ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) )
45 7 12 4 5 lplncvrlvol ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ 𝑋 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) )
46 44 45 sylan ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑋 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) )
47 41 46 mpbid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑋 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) → ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝑉 )
48 40 47 impbida ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝑉 ↔ 𝑋 ( ⋖ ‘ 𝐾 ) ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) )
49 14 32 48 3bitr4d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ∈ 𝑁 ↔ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝑉 ) )