Theorem 2wlkdlem7

Description: Lemma 7 for 2wlkd . (Contributed by AV, 14-Feb-2021)

	Ref	Expression
Hypotheses	2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩
	2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“ 𝐽 𝐾 ”⟩
	2wlkd.s	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) )
	2wlkd.n	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) )
	2wlkd.e	⊢ ( 𝜑 → ( { 𝐴 , 𝐵 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐽 ) ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐾 ) ) )
Assertion	2wlkdlem7	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩
2		2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“ 𝐽 𝐾 ”⟩
3		2wlkd.s	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ) )
4		2wlkd.n	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) )
5		2wlkd.e	⊢ ( 𝜑 → ( { 𝐴 , 𝐵 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐽 ) ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐾 ) ) )
6	1 2 3 4 5	2wlkdlem6	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝐽 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝐾 ) ) )
7		elfvex	⊢ ( 𝐵 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝐽 ) → 𝐽 ∈ V )
8		elfvex	⊢ ( 𝐵 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝐾 ) → 𝐾 ∈ V )
9	7 8	anim12i	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝐽 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ) )
10	6 9	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ) )