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Theorem 3dimlem4a

Description: Lemma for 3dim3 . (Contributed by NM, 27-Jul-2012)

Ref Expression
Hypotheses 3dim0.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3dim0.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3dim0.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion 3dimlem4a ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 3dim0.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
2 3dim0.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 3dim0.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 simp33 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) )
5 simp11 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
6 5 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
7 simp13 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
8 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
9 8 3 atbase ⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
10 7 9 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
11 simp2l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
12 8 3 atbase ⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
13 11 12 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
14 simp12 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
15 8 3 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 14 15 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
17 8 1 latjrot ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) )
18 6 10 13 16 17 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) )
19 18 breq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑆 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) ↔ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) )
20 simp2r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
21 8 1 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 6 10 13 21 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23 simp31 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) )
24 8 2 1 3 hlexch1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑆 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) → 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) )
25 5 20 14 22 23 24 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑆 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) → 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) )
26 19 25 sylbird ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) → 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) )
27 4 26 mtod ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → ¬ 𝑆 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) )