Theorem 3wlkdlem7

Description: Lemma 7 for 3wlkd . (Contributed by AV, 7-Feb-2021)

	Ref	Expression
Hypotheses	3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”⟩
	3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩
	3wlkd.s	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ) ) )
	3wlkd.n	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) )
	3wlkd.e	⊢ ( 𝜑 → ( { 𝐴 , 𝐵 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐽 ) ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐾 ) ∧ { 𝐶 , 𝐷 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐿 ) ) )
Assertion	3wlkdlem7	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ V ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”⟩
2		3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩
3		3wlkd.s	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ) ) )
4		3wlkd.n	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) )
5		3wlkd.e	⊢ ( 𝜑 → ( { 𝐴 , 𝐵 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐽 ) ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐾 ) ∧ { 𝐶 , 𝐷 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐿 ) ) )
6	1 2 3 4 5	3wlkdlem6	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝐽 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝐾 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝐿 ) ) )
7		elfvex	⊢ ( 𝐴 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝐽 ) → 𝐽 ∈ V )
8		elfvex	⊢ ( 𝐵 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝐾 ) → 𝐾 ∈ V )
9		elfvex	⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝐿 ) → 𝐿 ∈ V )
10	7 8 9	3anim123i	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝐽 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝐾 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐼 ‘ 𝐿 ) ) → ( 𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ V ) )
11	6 10	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ V ) )