Theorem 3wlkdlem8

Description: Lemma 8 for 3wlkd . (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Nov-2017) (Revised by AV, 7-Feb-2021)

	Ref	Expression
Hypotheses	3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”⟩
	3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩
	3wlkd.s	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ) ) )
	3wlkd.n	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) )
	3wlkd.e	⊢ ( 𝜑 → ( { 𝐴 , 𝐵 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐽 ) ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐾 ) ∧ { 𝐶 , 𝐷 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐿 ) ) )
Assertion	3wlkdlem8	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ‘ 0 ) = 𝐽 ∧ ( 𝐹 ‘ 1 ) = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ 2 ) = 𝐿 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ”⟩
2		3wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩
3		3wlkd.s	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ) ∧ ( 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ) ) )
4		3wlkd.n	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ) ∧ 𝐶 ≠ 𝐷 ) )
5		3wlkd.e	⊢ ( 𝜑 → ( { 𝐴 , 𝐵 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐽 ) ∧ { 𝐵 , 𝐶 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐾 ) ∧ { 𝐶 , 𝐷 } ⊆ ( 𝐼 ‘ 𝐿 ) ) )
6	1 2 3 4 5	3wlkdlem7	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ V ) )
7		s3fv0	⊢ ( 𝐽 ∈ V → ( ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩ ‘ 0 ) = 𝐽 )
8		s3fv1	⊢ ( 𝐾 ∈ V → ( ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩ ‘ 1 ) = 𝐾 )
9		s3fv2	⊢ ( 𝐿 ∈ V → ( ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩ ‘ 2 ) = 𝐿 )
10	7 8 9	3anim123i	⊢ ( ( 𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ∧ 𝐿 ∈ V ) → ( ( ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩ ‘ 0 ) = 𝐽 ∧ ( ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩ ‘ 1 ) = 𝐾 ∧ ( ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩ ‘ 2 ) = 𝐿 ) )
11	6 10	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ( ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩ ‘ 0 ) = 𝐽 ∧ ( ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩ ‘ 1 ) = 𝐾 ∧ ( ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩ ‘ 2 ) = 𝐿 ) )
12	2	fveq1i	⊢ ( 𝐹 ‘ 0 ) = ( ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩ ‘ 0 )
13	12	eqeq1i	⊢ ( ( 𝐹 ‘ 0 ) = 𝐽 ↔ ( ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩ ‘ 0 ) = 𝐽 )
14	2	fveq1i	⊢ ( 𝐹 ‘ 1 ) = ( ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩ ‘ 1 )
15	14	eqeq1i	⊢ ( ( 𝐹 ‘ 1 ) = 𝐾 ↔ ( ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩ ‘ 1 ) = 𝐾 )
16	2	fveq1i	⊢ ( 𝐹 ‘ 2 ) = ( ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩ ‘ 2 )
17	16	eqeq1i	⊢ ( ( 𝐹 ‘ 2 ) = 𝐿 ↔ ( ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩ ‘ 2 ) = 𝐿 )
18	13 15 17	3anbi123i	⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ 0 ) = 𝐽 ∧ ( 𝐹 ‘ 1 ) = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ 2 ) = 𝐿 ) ↔ ( ( ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩ ‘ 0 ) = 𝐽 ∧ ( ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩ ‘ 1 ) = 𝐾 ∧ ( ⟨“ 𝐽 𝐾 𝐿 ”⟩ ‘ 2 ) = 𝐿 ) )
19	11 18	sylibr	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐹 ‘ 0 ) = 𝐽 ∧ ( 𝐹 ‘ 1 ) = 𝐾 ∧ ( 𝐹 ‘ 2 ) = 𝐿 ) )