Theorem 4atlem10a

Description: Lemma for 4at . Substitute V for R . (Contributed by NM, 9-Jul-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	4at.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	4at.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	4at.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion	4atlem10a	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4at.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		4at.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		4at.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4		simp11	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
5		simp21	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
6		simp22	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝑉 ∈ 𝐴 )
7	4	hllatd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
8		simp1	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) )
9		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
10	9 2 3	hlatjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
11	8 10	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
12		simp23	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐴 )
13	9 3	atbase	⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐴 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
14	12 13	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15	9 2	latjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16	7 11 14 15	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
17		simp3	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) )
18	9 1 2 3	hlexchb2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ≤ ( 𝑉 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑉 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) ) )
19	4 5 6 16 17 18	syl131anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ≤ ( 𝑉 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑉 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) ) )
20	1 2 3	4atlem4c	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑉 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) )
21	8 6 12 20	syl12anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑉 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) )
22	21	breq2d	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ 𝑅 ≤ ( 𝑉 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) ) )
23	1 2 3	4atlem4c	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) )
24	8 5 12 23	syl12anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) )
25	24 21	eqeq12d	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) = ( 𝑉 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) ) )
26	19 22 25	3bitr4d	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴 ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑅 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ ( 𝑉 ∨ 𝑊 ) ) ) )