Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
4sq.1 |
⊢ 𝑆 = { 𝑛 ∣ ∃ 𝑥 ∈ ℤ ∃ 𝑦 ∈ ℤ ∃ 𝑧 ∈ ℤ ∃ 𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = ( ( ( 𝑥 ↑ 2 ) + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝑧 ↑ 2 ) + ( 𝑤 ↑ 2 ) ) ) } |
2 |
|
4sq.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
3 |
|
4sq.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 = ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) ) |
4 |
|
4sq.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ ) |
5 |
|
4sqlem11.5 |
⊢ 𝐴 = { 𝑢 ∣ ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑢 = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) } |
6 |
|
4sqlem11.6 |
⊢ 𝐹 = ( 𝑣 ∈ 𝐴 ↦ ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ) |
7 |
1 2 3 4 5 6
|
4sqlem11 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∩ ran 𝐹 ) ≠ ∅ ) |
8 |
|
n0 |
⊢ ( ( 𝐴 ∩ ran 𝐹 ) ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑗 𝑗 ∈ ( 𝐴 ∩ ran 𝐹 ) ) |
9 |
7 8
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑗 𝑗 ∈ ( 𝐴 ∩ ran 𝐹 ) ) |
10 |
|
vex |
⊢ 𝑗 ∈ V |
11 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑢 = 𝑗 → ( 𝑢 = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ↔ 𝑗 = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) |
12 |
11
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑢 = 𝑗 → ( ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑢 = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑗 = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) |
13 |
10 12 5
|
elab2 |
⊢ ( 𝑗 ∈ 𝐴 ↔ ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑗 = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) |
14 |
|
abid |
⊢ ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝐴 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) } ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝐴 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ) |
15 |
5
|
rexeqi |
⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ 𝐴 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ { 𝑢 ∣ ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑢 = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) } 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ) |
16 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝑚 ↑ 2 ) = ( 𝑛 ↑ 2 ) ) |
17 |
16
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) |
18 |
17
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑚 = 𝑛 → ( 𝑢 = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ↔ 𝑢 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) |
19 |
18
|
cbvrexvw |
⊢ ( ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑢 = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ↔ ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑢 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) |
20 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑢 = 𝑣 → ( 𝑢 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ↔ 𝑣 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) |
21 |
20
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑢 = 𝑣 → ( ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑢 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ↔ ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑣 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) |
22 |
19 21
|
syl5bb |
⊢ ( 𝑢 = 𝑣 → ( ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑢 = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ↔ ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑣 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) |
23 |
22
|
rexab |
⊢ ( ∃ 𝑣 ∈ { 𝑢 ∣ ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑢 = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) } 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ↔ ∃ 𝑣 ( ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑣 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ) ) |
24 |
14 15 23
|
3bitri |
⊢ ( 𝑗 ∈ { 𝑗 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝐴 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) } ↔ ∃ 𝑣 ( ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑣 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ) ) |
25 |
6
|
rnmpt |
⊢ ran 𝐹 = { 𝑗 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝐴 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) } |
26 |
25
|
eleq2i |
⊢ ( 𝑗 ∈ ran 𝐹 ↔ 𝑗 ∈ { 𝑗 ∣ ∃ 𝑣 ∈ 𝐴 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) } ) |
27 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑣 ( 𝑣 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝑣 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ) ) |
28 |
|
r19.41v |
⊢ ( ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝑣 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ) ↔ ( ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑣 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ) ) |
29 |
28
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑣 ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝑣 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ) ↔ ∃ 𝑣 ( ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑣 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ) ) |
30 |
27 29
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑣 ( 𝑣 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ) ↔ ∃ 𝑣 ( ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑣 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ) ) |
31 |
24 26 30
|
3bitr4i |
⊢ ( 𝑗 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑣 ( 𝑣 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ) ) |
32 |
|
ovex |
⊢ ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∈ V |
33 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑣 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) → ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) |
34 |
33
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑣 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) → ( 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ↔ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) ) |
35 |
32 34
|
ceqsexv |
⊢ ( ∃ 𝑣 ( 𝑣 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ) ↔ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) |
36 |
35
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑣 ( 𝑣 = ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − 𝑣 ) ) ↔ ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) |
37 |
31 36
|
bitri |
⊢ ( 𝑗 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) |
38 |
13 37
|
anbi12i |
⊢ ( ( 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ran 𝐹 ) ↔ ( ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑗 = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) ) |
39 |
|
elin |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 𝐴 ∩ ran 𝐹 ) ↔ ( 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑗 ∈ ran 𝐹 ) ) |
40 |
|
reeanv |
⊢ ( ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝑗 = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑗 = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) ) |
41 |
38 39 40
|
3bitr4i |
⊢ ( 𝑗 ∈ ( 𝐴 ∩ ran 𝐹 ) ↔ ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝑗 = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) ) |
42 |
|
eqtr2 |
⊢ ( ( 𝑗 = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) |
43 |
4
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑃 ∈ ℙ ) |
44 |
|
prmnn |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ ) |
45 |
43 44
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑃 ∈ ℕ ) |
46 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
47 |
45 46
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
48 |
47
|
nn0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℝ ) |
49 |
45
|
nnrpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑃 ∈ ℝ+ ) |
50 |
47
|
nn0ge0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 0 ≤ ( 𝑃 − 1 ) ) |
51 |
45
|
nnred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑃 ∈ ℝ ) |
52 |
51
|
ltm1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑃 − 1 ) < 𝑃 ) |
53 |
|
modid |
⊢ ( ( ( ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝑃 − 1 ) ∧ ( 𝑃 − 1 ) < 𝑃 ) ) → ( ( 𝑃 − 1 ) mod 𝑃 ) = ( 𝑃 − 1 ) ) |
54 |
48 49 50 52 53
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑃 − 1 ) mod 𝑃 ) = ( 𝑃 − 1 ) ) |
55 |
54
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 − 1 ) mod 𝑃 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) |
56 |
|
simp2r |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
57 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑛 ∈ ℤ ) |
58 |
56 57
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℤ ) |
59 |
|
zsqcl2 |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℤ → ( 𝑛 ↑ 2 ) ∈ ℕ0 ) |
60 |
58 59
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑛 ↑ 2 ) ∈ ℕ0 ) |
61 |
60
|
nn0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑛 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
62 |
|
modlt |
⊢ ( ( ( 𝑛 ↑ 2 ) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) < 𝑃 ) |
63 |
61 49 62
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) < 𝑃 ) |
64 |
|
zsqcl |
⊢ ( 𝑛 ∈ ℤ → ( 𝑛 ↑ 2 ) ∈ ℤ ) |
65 |
58 64
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑛 ↑ 2 ) ∈ ℤ ) |
66 |
65 45
|
zmodcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∈ ℕ0 ) |
67 |
66
|
nn0zd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∈ ℤ ) |
68 |
|
prmz |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ ) |
69 |
43 68
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑃 ∈ ℤ ) |
70 |
|
zltlem1 |
⊢ ( ( ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) < 𝑃 ↔ ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 − 1 ) ) ) |
71 |
67 69 70
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) < 𝑃 ↔ ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 − 1 ) ) ) |
72 |
63 71
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 − 1 ) ) |
73 |
72 54
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) mod 𝑃 ) ) |
74 |
|
modsubdir |
⊢ ( ( ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑛 ↑ 2 ) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) mod 𝑃 ) ↔ ( ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑛 ↑ 2 ) ) mod 𝑃 ) = ( ( ( 𝑃 − 1 ) mod 𝑃 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) ) |
75 |
48 61 49 74
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ≤ ( ( 𝑃 − 1 ) mod 𝑃 ) ↔ ( ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑛 ↑ 2 ) ) mod 𝑃 ) = ( ( ( 𝑃 − 1 ) mod 𝑃 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) ) |
76 |
73 75
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑛 ↑ 2 ) ) mod 𝑃 ) = ( ( ( 𝑃 − 1 ) mod 𝑃 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) |
77 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) |
78 |
55 76 77
|
3eqtr4rd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑛 ↑ 2 ) ) mod 𝑃 ) ) |
79 |
|
simp2l |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
80 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑚 ∈ ℤ ) |
81 |
79 80
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑚 ∈ ℤ ) |
82 |
|
zsqcl |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℤ → ( 𝑚 ↑ 2 ) ∈ ℤ ) |
83 |
81 82
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑚 ↑ 2 ) ∈ ℤ ) |
84 |
47
|
nn0zd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℤ ) |
85 |
84 65
|
zsubcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑛 ↑ 2 ) ) ∈ ℤ ) |
86 |
|
moddvds |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℕ ∧ ( 𝑚 ↑ 2 ) ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑛 ↑ 2 ) ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑛 ↑ 2 ) ) mod 𝑃 ) ↔ 𝑃 ∥ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) − ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑛 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
87 |
45 83 85 86
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑛 ↑ 2 ) ) mod 𝑃 ) ↔ 𝑃 ∥ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) − ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑛 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
88 |
78 87
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑃 ∥ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) − ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑛 ↑ 2 ) ) ) ) |
89 |
|
zsqcl2 |
⊢ ( 𝑚 ∈ ℤ → ( 𝑚 ↑ 2 ) ∈ ℕ0 ) |
90 |
81 89
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑚 ↑ 2 ) ∈ ℕ0 ) |
91 |
90
|
nn0cnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑚 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
92 |
47
|
nn0cnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑃 − 1 ) ∈ ℂ ) |
93 |
60
|
nn0cnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑛 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
94 |
91 92 93
|
subsub3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑚 ↑ 2 ) − ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑛 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) − ( 𝑃 − 1 ) ) ) |
95 |
90 60
|
nn0addcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) ∈ ℕ0 ) |
96 |
95
|
nn0cnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
97 |
45
|
nncnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑃 ∈ ℂ ) |
98 |
|
1cnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
99 |
96 97 98
|
subsub3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) − ( 𝑃 − 1 ) ) = ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) − 𝑃 ) ) |
100 |
94 99
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑚 ↑ 2 ) − ( ( 𝑃 − 1 ) − ( 𝑛 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) − 𝑃 ) ) |
101 |
88 100
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑃 ∥ ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) − 𝑃 ) ) |
102 |
|
nn0p1nn |
⊢ ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) ∈ ℕ0 → ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ∈ ℕ ) |
103 |
95 102
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ∈ ℕ ) |
104 |
103
|
nnzd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) |
105 |
|
dvdssubr |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑃 ∥ ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ↔ 𝑃 ∥ ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) − 𝑃 ) ) ) |
106 |
69 104 105
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑃 ∥ ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ↔ 𝑃 ∥ ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) − 𝑃 ) ) ) |
107 |
101 106
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑃 ∥ ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ) |
108 |
45
|
nnne0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑃 ≠ 0 ) |
109 |
|
dvdsval2 |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑃 ∥ ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ↔ ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ∈ ℤ ) ) |
110 |
69 108 104 109
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑃 ∥ ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ↔ ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ∈ ℤ ) ) |
111 |
107 110
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ∈ ℤ ) |
112 |
|
nnrp |
⊢ ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ∈ ℕ → ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ∈ ℝ+ ) |
113 |
|
nnrp |
⊢ ( 𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+ ) |
114 |
|
rpdivcl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ∈ ℝ+ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ∈ ℝ+ ) |
115 |
112 113 114
|
syl2an |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ) → ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ∈ ℝ+ ) |
116 |
103 45 115
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ∈ ℝ+ ) |
117 |
116
|
rpgt0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 0 < ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ) |
118 |
|
elnnz |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ∈ ℕ ↔ ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ∈ ℤ ∧ 0 < ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ) ) |
119 |
111 117 118
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ∈ ℕ ) |
120 |
119
|
nnge1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 1 ≤ ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ) |
121 |
95
|
nn0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
122 |
|
2nn |
⊢ 2 ∈ ℕ |
123 |
2
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
124 |
|
nnmulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
125 |
122 123 124
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℕ ) |
126 |
125
|
nnred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
127 |
126
|
resqcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
128 |
|
nnmulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ ∧ ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℕ ) → ( 2 · ( 2 · 𝑁 ) ) ∈ ℕ ) |
129 |
122 125 128
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 2 · ( 2 · 𝑁 ) ) ∈ ℕ ) |
130 |
129
|
nnred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 2 · ( 2 · 𝑁 ) ) ∈ ℝ ) |
131 |
127 130
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ 2 ) + ( 2 · ( 2 · 𝑁 ) ) ) ∈ ℝ ) |
132 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
133 |
123
|
nnsqcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑁 ↑ 2 ) ∈ ℕ ) |
134 |
|
nnmulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℕ ∧ ( 𝑁 ↑ 2 ) ∈ ℕ ) → ( 2 · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ∈ ℕ ) |
135 |
122 133 134
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 2 · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ∈ ℕ ) |
136 |
135
|
nnred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 2 · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
137 |
90
|
nn0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑚 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
138 |
133
|
nnred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑁 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
139 |
81
|
zred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑚 ∈ ℝ ) |
140 |
|
elfzle1 |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 0 ≤ 𝑚 ) |
141 |
79 140
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 0 ≤ 𝑚 ) |
142 |
123
|
nnred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
143 |
|
elfzle2 |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑚 ≤ 𝑁 ) |
144 |
79 143
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑚 ≤ 𝑁 ) |
145 |
|
le2sq2 |
⊢ ( ( ( 𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ≤ 𝑁 ) ) → ( 𝑚 ↑ 2 ) ≤ ( 𝑁 ↑ 2 ) ) |
146 |
139 141 142 144 145
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑚 ↑ 2 ) ≤ ( 𝑁 ↑ 2 ) ) |
147 |
58
|
zred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑛 ∈ ℝ ) |
148 |
|
elfzle1 |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 0 ≤ 𝑛 ) |
149 |
56 148
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 0 ≤ 𝑛 ) |
150 |
|
elfzle2 |
⊢ ( 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑛 ≤ 𝑁 ) |
151 |
56 150
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑛 ≤ 𝑁 ) |
152 |
|
le2sq2 |
⊢ ( ( ( 𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ≤ 𝑁 ) ) → ( 𝑛 ↑ 2 ) ≤ ( 𝑁 ↑ 2 ) ) |
153 |
147 149 142 151 152
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑛 ↑ 2 ) ≤ ( 𝑁 ↑ 2 ) ) |
154 |
137 61 138 138 146 153
|
le2addd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) ≤ ( ( 𝑁 ↑ 2 ) + ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) |
155 |
133
|
nncnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑁 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
156 |
155
|
2timesd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 2 · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑁 ↑ 2 ) + ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) |
157 |
154 156
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) ≤ ( 2 · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) |
158 |
|
2lt4 |
⊢ 2 < 4 |
159 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
160 |
159
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 2 ∈ ℝ ) |
161 |
|
4re |
⊢ 4 ∈ ℝ |
162 |
161
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 4 ∈ ℝ ) |
163 |
133
|
nngt0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 0 < ( 𝑁 ↑ 2 ) ) |
164 |
|
ltmul1 |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝑁 ↑ 2 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) → ( 2 < 4 ↔ ( 2 · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) < ( 4 · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) ) |
165 |
160 162 138 163 164
|
syl112anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 2 < 4 ↔ ( 2 · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) < ( 4 · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) ) |
166 |
158 165
|
mpbii |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 2 · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) < ( 4 · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) |
167 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
168 |
123
|
nncnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
169 |
|
sqmul |
⊢ ( ( 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ 2 ) = ( ( 2 ↑ 2 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) |
170 |
167 168 169
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ 2 ) = ( ( 2 ↑ 2 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) |
171 |
|
sq2 |
⊢ ( 2 ↑ 2 ) = 4 |
172 |
171
|
oveq1i |
⊢ ( ( 2 ↑ 2 ) · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) = ( 4 · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) |
173 |
170 172
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ 2 ) = ( 4 · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) ) |
174 |
166 173
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 2 · ( 𝑁 ↑ 2 ) ) < ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ 2 ) ) |
175 |
121 136 127 157 174
|
lelttrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) < ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ 2 ) ) |
176 |
129
|
nnrpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 2 · ( 2 · 𝑁 ) ) ∈ ℝ+ ) |
177 |
127 176
|
ltaddrpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ 2 ) < ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ 2 ) + ( 2 · ( 2 · 𝑁 ) ) ) ) |
178 |
121 127 131 175 177
|
lttrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) < ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ 2 ) + ( 2 · ( 2 · 𝑁 ) ) ) ) |
179 |
121 131 132 178
|
ltadd1dd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) < ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ 2 ) + ( 2 · ( 2 · 𝑁 ) ) ) + 1 ) ) |
180 |
3
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 𝑃 = ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) ) |
181 |
180
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑃 ↑ 2 ) = ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) ↑ 2 ) ) |
182 |
97
|
sqvald |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑃 ↑ 2 ) = ( 𝑃 · 𝑃 ) ) |
183 |
125
|
nncnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
184 |
|
binom21 |
⊢ ( ( 2 · 𝑁 ) ∈ ℂ → ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) ↑ 2 ) = ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ 2 ) + ( 2 · ( 2 · 𝑁 ) ) ) + 1 ) ) |
185 |
183 184
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( 2 · 𝑁 ) + 1 ) ↑ 2 ) = ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ 2 ) + ( 2 · ( 2 · 𝑁 ) ) ) + 1 ) ) |
186 |
181 182 185
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑃 · 𝑃 ) = ( ( ( ( 2 · 𝑁 ) ↑ 2 ) + ( 2 · ( 2 · 𝑁 ) ) ) + 1 ) ) |
187 |
179 186
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) < ( 𝑃 · 𝑃 ) ) |
188 |
103
|
nnred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
189 |
45
|
nngt0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → 0 < 𝑃 ) |
190 |
|
ltdivmul |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ ( 𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃 ) ) → ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) < 𝑃 ↔ ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) < ( 𝑃 · 𝑃 ) ) ) |
191 |
188 51 51 189 190
|
syl112anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) < 𝑃 ↔ ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) < ( 𝑃 · 𝑃 ) ) ) |
192 |
187 191
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) < 𝑃 ) |
193 |
|
1z |
⊢ 1 ∈ ℤ |
194 |
|
elfzm11 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ) → ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ∧ ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) < 𝑃 ) ) ) |
195 |
193 69 194
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ∧ ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) < 𝑃 ) ) ) |
196 |
111 120 192 195
|
mpbir3and |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ) |
197 |
|
gzreim |
⊢ ( ( 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ) → ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ∈ ℤ[i] ) |
198 |
81 58 197
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ∈ ℤ[i] ) |
199 |
|
gzcn |
⊢ ( ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ∈ ℤ[i] → ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
200 |
198 199
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ∈ ℂ ) |
201 |
200
|
absvalsq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( ℜ ‘ ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ) ↑ 2 ) + ( ( ℑ ‘ ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ) ↑ 2 ) ) ) |
202 |
139 147
|
crred |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ℜ ‘ ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ) = 𝑚 ) |
203 |
202
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ℜ ‘ ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ) ↑ 2 ) = ( 𝑚 ↑ 2 ) ) |
204 |
139 147
|
crimd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ℑ ‘ ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ) = 𝑛 ) |
205 |
204
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ℑ ‘ ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ) ↑ 2 ) = ( 𝑛 ↑ 2 ) ) |
206 |
203 205
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( ℜ ‘ ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ) ↑ 2 ) + ( ( ℑ ‘ ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) ) |
207 |
201 206
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( abs ‘ ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) ) |
208 |
207
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ) ↑ 2 ) + 1 ) = ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ) |
209 |
103
|
nncnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ∈ ℂ ) |
210 |
209 97 108
|
divcan1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) · 𝑃 ) = ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) ) |
211 |
208 210
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ( ( ( abs ‘ ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ) ↑ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) · 𝑃 ) ) |
212 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑘 = ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) → ( 𝑘 · 𝑃 ) = ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) · 𝑃 ) ) |
213 |
212
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑘 = ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) → ( ( ( ( abs ‘ 𝑢 ) ↑ 2 ) + 1 ) = ( 𝑘 · 𝑃 ) ↔ ( ( ( abs ‘ 𝑢 ) ↑ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) · 𝑃 ) ) ) |
214 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) → ( abs ‘ 𝑢 ) = ( abs ‘ ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ) ) |
215 |
214
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) → ( ( abs ‘ 𝑢 ) ↑ 2 ) = ( ( abs ‘ ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ) ↑ 2 ) ) |
216 |
215
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) → ( ( ( abs ‘ 𝑢 ) ↑ 2 ) + 1 ) = ( ( ( abs ‘ ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ) ↑ 2 ) + 1 ) ) |
217 |
216
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝑢 = ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) → ( ( ( ( abs ‘ 𝑢 ) ↑ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) · 𝑃 ) ↔ ( ( ( abs ‘ ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ) ↑ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) · 𝑃 ) ) ) |
218 |
213 217
|
rspc2ev |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∧ ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ∈ ℤ[i] ∧ ( ( ( abs ‘ ( 𝑚 + ( i · 𝑛 ) ) ) ↑ 2 ) + 1 ) = ( ( ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) + ( 𝑛 ↑ 2 ) ) + 1 ) / 𝑃 ) · 𝑃 ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∃ 𝑢 ∈ ℤ[i] ( ( ( abs ‘ 𝑢 ) ↑ 2 ) + 1 ) = ( 𝑘 · 𝑃 ) ) |
219 |
196 198 211 218
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∃ 𝑢 ∈ ℤ[i] ( ( ( abs ‘ 𝑢 ) ↑ 2 ) + 1 ) = ( 𝑘 · 𝑃 ) ) |
220 |
219
|
3expia |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∃ 𝑢 ∈ ℤ[i] ( ( ( abs ‘ 𝑢 ) ↑ 2 ) + 1 ) = ( 𝑘 · 𝑃 ) ) ) |
221 |
42 220
|
syl5 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∧ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑗 = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∃ 𝑢 ∈ ℤ[i] ( ( ( abs ‘ 𝑢 ) ↑ 2 ) + 1 ) = ( 𝑘 · 𝑃 ) ) ) |
222 |
221
|
rexlimdvva |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑚 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ∃ 𝑛 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ( 𝑗 = ( ( 𝑚 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ∧ 𝑗 = ( ( 𝑃 − 1 ) − ( ( 𝑛 ↑ 2 ) mod 𝑃 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∃ 𝑢 ∈ ℤ[i] ( ( ( abs ‘ 𝑢 ) ↑ 2 ) + 1 ) = ( 𝑘 · 𝑃 ) ) ) |
223 |
41 222
|
syl5bi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑗 ∈ ( 𝐴 ∩ ran 𝐹 ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∃ 𝑢 ∈ ℤ[i] ( ( ( abs ‘ 𝑢 ) ↑ 2 ) + 1 ) = ( 𝑘 · 𝑃 ) ) ) |
224 |
223
|
exlimdv |
⊢ ( 𝜑 → ( ∃ 𝑗 𝑗 ∈ ( 𝐴 ∩ ran 𝐹 ) → ∃ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∃ 𝑢 ∈ ℤ[i] ( ( ( abs ‘ 𝑢 ) ↑ 2 ) + 1 ) = ( 𝑘 · 𝑃 ) ) ) |
225 |
9 224
|
mpd |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑃 − 1 ) ) ∃ 𝑢 ∈ ℤ[i] ( ( ( abs ‘ 𝑢 ) ↑ 2 ) + 1 ) = ( 𝑘 · 𝑃 ) ) |