Theorem aceq0

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. The right-hand side is our original ax-ac . (Contributed by NM, 5-Apr-2004)

	Ref	Expression
Assertion	aceq0	⊢ ( ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 ∀ 𝑤 ∈ 𝑧 ∃! 𝑣 ∈ 𝑧 ∃ 𝑢 ∈ 𝑦 ( 𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢 ) ↔ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq1	⊢ ( ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 ∀ 𝑤 ∈ 𝑧 ∃! 𝑣 ∈ 𝑧 ∃ 𝑢 ∈ 𝑦 ( 𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢 ) ↔ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
2		equequ2	⊢ ( 𝑣 = 𝑥 → ( 𝑢 = 𝑣 ↔ 𝑢 = 𝑥 ) )
3	2	bibi2d	⊢ ( 𝑣 = 𝑥 → ( ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ↔ ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) ) )
4		elequ2	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 𝑤 ∈ 𝑡 ↔ 𝑤 ∈ 𝑥 ) )
5	4	anbi2d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ↔ ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ) )
6		elequ2	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 𝑢 ∈ 𝑡 ↔ 𝑢 ∈ 𝑥 ) )
7		elequ1	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( 𝑡 ∈ 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦 ) )
8	6 7	anbi12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ↔ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) )
9	5 8	anbi12d	⊢ ( 𝑡 = 𝑥 → ( ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ) )
10	9	cbvexvw	⊢ ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) )
11	10	bibi1i	⊢ ( ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) )
12	3 11	bitrdi	⊢ ( 𝑣 = 𝑥 → ( ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) ) )
13	12	albidv	⊢ ( 𝑣 = 𝑥 → ( ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ↔ ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) ) )
14		elequ1	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( 𝑢 ∈ 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ 𝑤 ) )
15	14	anbi1d	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ) )
16		elequ1	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( 𝑢 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ 𝑥 ) )
17	16	anbi1d	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ↔ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) )
18	15 17	anbi12d	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ) )
19	18	exbidv	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ) )
20		equequ1	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( 𝑢 = 𝑥 ↔ 𝑧 = 𝑥 ) )
21	19 20	bibi12d	⊢ ( 𝑢 = 𝑧 → ( ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
22	21	cbvalvw	⊢ ( ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑥 ) ↔ ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) )
23	13 22	bitrdi	⊢ ( 𝑣 = 𝑥 → ( ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ↔ ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
24	23	cbvexvw	⊢ ( ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ↔ ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) )
25	24	imbi2i	⊢ ( ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ) ↔ ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
26	25	2albii	⊢ ( ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
27	26	exbii	⊢ ( ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∀ 𝑧 ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑧 = 𝑥 ) ) )
28	1 27	bitr4i	⊢ ( ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∈ 𝑥 ∀ 𝑤 ∈ 𝑧 ∃! 𝑣 ∈ 𝑧 ∃ 𝑢 ∈ 𝑦 ( 𝑧 ∈ 𝑢 ∧ 𝑣 ∈ 𝑢 ) ↔ ∃ 𝑦 ∀ 𝑧 ∀ 𝑤 ( ( 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑥 ) → ∃ 𝑣 ∀ 𝑢 ( ∃ 𝑡 ( ( 𝑢 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ 𝑡 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝑡 ∧ 𝑡 ∈ 𝑦 ) ) ↔ 𝑢 = 𝑣 ) ) )