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Theorem addcos

Description: Sum of cosines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007)

Ref Expression
Assertion addcos ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( cos ‘ 𝐵 ) ) = ( 2 · ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 coscl ⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( cos ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ )
2 coscl ⊢ ( 𝐵 ∈ ℂ → ( cos ‘ 𝐵 ) ∈ ℂ )
3 addcom ⊢ ( ( ( cos ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( cos ‘ 𝐵 ) ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( cos ‘ 𝐵 ) ) = ( ( cos ‘ 𝐵 ) + ( cos ‘ 𝐴 ) ) )
4 1 2 3 syl2an ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( cos ‘ 𝐵 ) ) = ( ( cos ‘ 𝐵 ) + ( cos ‘ 𝐴 ) ) )
5 halfaddsub ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) = 𝐴 ∧ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) = 𝐵 ) )
6 5 simprd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) = 𝐵 )
7 6 fveq2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) = ( cos ‘ 𝐵 ) )
8 5 simpld ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) = 𝐴 )
9 8 fveq2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) = ( cos ‘ 𝐴 ) )
10 7 9 oveq12d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( cos ‘ 𝐵 ) + ( cos ‘ 𝐴 ) ) )
11 halfaddsubcl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ) )
12 coscl ⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ → ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ )
13 coscl ⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ → ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ )
14 mulcl ⊢ ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ∧ ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
15 12 13 14 syl2an ⊢ ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
16 11 15 syl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
17 sincl ⊢ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ → ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ )
18 sincl ⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ → ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ )
19 mulcl ⊢ ( ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ∧ ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
20 17 18 19 syl2an ⊢ ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
21 11 20 syl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ∈ ℂ )
22 16 21 16 ppncand ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) − ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )
23 cossub ⊢ ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )
24 cosadd ⊢ ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ) → ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) − ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )
25 23 24 oveq12d ⊢ ( ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) − ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ) )
26 11 25 syl ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) − ( ( sin ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) ) )
27 16 2timesd ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 2 · ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )
28 22 26 27 3eqtr4d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) − ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) + ( cos ‘ ( ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) + ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) = ( 2 · ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )
29 4 10 28 3eqtr2d ⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ 𝐴 ) + ( cos ‘ 𝐵 ) ) = ( 2 · ( ( cos ‘ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) / 2 ) ) · ( cos ‘ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) / 2 ) ) ) ) )