| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
addlimc.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) |
| 2 |
|
addlimc.g |
⊢ 𝐺 = ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) |
| 3 |
|
addlimc.h |
⊢ 𝐻 = ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 + 𝐶 ) ) |
| 4 |
|
addlimc.b |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
| 5 |
|
addlimc.c |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 ∈ ℂ ) |
| 6 |
|
addlimc.e |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ( 𝐹 limℂ 𝐷 ) ) |
| 7 |
|
addlimc.i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ ( 𝐺 limℂ 𝐷 ) ) |
| 8 |
|
limccl |
⊢ ( 𝐹 limℂ 𝐷 ) ⊆ ℂ |
| 9 |
8 6
|
sselid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ ) |
| 10 |
|
limccl |
⊢ ( 𝐺 limℂ 𝐷 ) ⊆ ℂ |
| 11 |
10 7
|
sselid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ ) |
| 12 |
9 11
|
addcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 + 𝐼 ) ∈ ℂ ) |
| 13 |
4 1
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 : 𝐴 ⟶ ℂ ) |
| 14 |
1 4 6
|
limcmptdm |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ ) |
| 15 |
|
limcrcl |
⊢ ( 𝐸 ∈ ( 𝐹 limℂ 𝐷 ) → ( 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) |
| 16 |
6 15
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 : dom 𝐹 ⟶ ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) |
| 17 |
16
|
simp3d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ ) |
| 18 |
13 14 17
|
ellimc3 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ∈ ( 𝐹 limℂ 𝐷 ) ↔ ( 𝐸 ∈ ℂ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ℝ+ ∃ 𝑎 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < 𝑧 ) ) ) ) |
| 19 |
6 18
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ∈ ℂ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ℝ+ ∃ 𝑎 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < 𝑧 ) ) ) |
| 20 |
19
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ ℝ+ ∃ 𝑎 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < 𝑧 ) ) |
| 21 |
|
rphalfcl |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → ( 𝑦 / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
| 22 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑦 / 2 ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) |
| 23 |
22
|
imbi2d |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑦 / 2 ) → ( ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < 𝑧 ) ↔ ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) |
| 24 |
23
|
rexralbidv |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑦 / 2 ) → ( ∃ 𝑎 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑎 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) |
| 25 |
24
|
rspccva |
⊢ ( ( ∀ 𝑧 ∈ ℝ+ ∃ 𝑎 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 / 2 ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑎 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) |
| 26 |
20 21 25
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑎 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) |
| 27 |
5 2
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 : 𝐴 ⟶ ℂ ) |
| 28 |
27 14 17
|
ellimc3 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ∈ ( 𝐺 limℂ 𝐷 ) ↔ ( 𝐼 ∈ ℂ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ℝ+ ∃ 𝑏 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < 𝑧 ) ) ) ) |
| 29 |
7 28
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ∈ ℂ ∧ ∀ 𝑧 ∈ ℝ+ ∃ 𝑏 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < 𝑧 ) ) ) |
| 30 |
29
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑧 ∈ ℝ+ ∃ 𝑏 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < 𝑧 ) ) |
| 31 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑦 / 2 ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < 𝑧 ↔ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) |
| 32 |
31
|
imbi2d |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑦 / 2 ) → ( ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < 𝑧 ) ↔ ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) |
| 33 |
32
|
rexralbidv |
⊢ ( 𝑧 = ( 𝑦 / 2 ) → ( ∃ 𝑏 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < 𝑧 ) ↔ ∃ 𝑏 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) |
| 34 |
33
|
rspccva |
⊢ ( ( ∀ 𝑧 ∈ ℝ+ ∃ 𝑏 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 / 2 ) ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) |
| 35 |
30 21 34
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑏 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) |
| 36 |
|
reeanv |
⊢ ( ∃ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑏 ∈ ℝ+ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑎 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∃ 𝑏 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) |
| 37 |
26 35 36
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑏 ∈ ℝ+ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) |
| 38 |
|
ifcl |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) → if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ∈ ℝ+ ) |
| 39 |
38
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) → if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ∈ ℝ+ ) |
| 40 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑣 ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) |
| 41 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑣 ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) |
| 42 |
|
nfra1 |
⊢ Ⅎ 𝑣 ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) |
| 43 |
|
nfra1 |
⊢ Ⅎ 𝑣 ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) |
| 44 |
42 43
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑣 ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) |
| 45 |
40 41 44
|
nf3an |
⊢ Ⅎ 𝑣 ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) |
| 46 |
|
simp11l |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → 𝜑 ) |
| 47 |
|
simp2 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → 𝑣 ∈ 𝐴 ) |
| 48 |
46 47
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ) |
| 49 |
|
rpre |
⊢ ( 𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ ) |
| 50 |
49
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
| 51 |
50
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
| 52 |
51
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
| 53 |
|
simp13l |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) |
| 54 |
|
simp3l |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → 𝑣 ≠ 𝐷 ) |
| 55 |
14
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) → 𝑣 ∈ ℂ ) |
| 56 |
46 47 55
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → 𝑣 ∈ ℂ ) |
| 57 |
46 17
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → 𝐷 ∈ ℂ ) |
| 58 |
56 57
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → ( 𝑣 − 𝐷 ) ∈ ℂ ) |
| 59 |
58
|
abscld |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) ∈ ℝ ) |
| 60 |
39
|
rpred |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) → if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ∈ ℝ ) |
| 61 |
60
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ∈ ℝ ) |
| 62 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) → 𝑎 ∈ ℝ+ ) |
| 63 |
62
|
rpred |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) → 𝑎 ∈ ℝ ) |
| 64 |
63
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) → 𝑎 ∈ ℝ ) |
| 65 |
64
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → 𝑎 ∈ ℝ ) |
| 66 |
|
simp3r |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) |
| 67 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) → 𝑏 ∈ ℝ+ ) |
| 68 |
67
|
rpred |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) → 𝑏 ∈ ℝ ) |
| 69 |
|
min1 |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ≤ 𝑎 ) |
| 70 |
63 68 69
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) → if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ≤ 𝑎 ) |
| 71 |
70
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) → if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ≤ 𝑎 ) |
| 72 |
71
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ≤ 𝑎 ) |
| 73 |
59 61 65 66 72
|
ltletrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) |
| 74 |
54 73
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) ) |
| 75 |
|
rsp |
⊢ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( 𝑣 ∈ 𝐴 → ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) |
| 76 |
53 47 74 75
|
syl3c |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) |
| 77 |
48 52 76
|
jca31 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) |
| 78 |
|
simp13r |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) |
| 79 |
68
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ℝ ) |
| 80 |
79
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → 𝑏 ∈ ℝ ) |
| 81 |
|
min2 |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ) → if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ≤ 𝑏 ) |
| 82 |
63 68 81
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) → if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ≤ 𝑏 ) |
| 83 |
82
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) → if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ≤ 𝑏 ) |
| 84 |
83
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ≤ 𝑏 ) |
| 85 |
59 61 80 66 84
|
ltletrd |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) |
| 86 |
54 85
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) ) |
| 87 |
|
rsp |
⊢ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( 𝑣 ∈ 𝐴 → ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) |
| 88 |
78 47 86 87
|
syl3c |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) |
| 89 |
4 5
|
addcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
| 90 |
89 3
|
fmptd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐻 : 𝐴 ⟶ ℂ ) |
| 91 |
90
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) ∈ ℂ ) |
| 92 |
91
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) ∈ ℂ ) |
| 93 |
|
simp-4l |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → 𝜑 ) |
| 94 |
93 12
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( 𝐸 + 𝐼 ) ∈ ℂ ) |
| 95 |
92 94
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) ∈ ℂ ) |
| 96 |
95
|
abscld |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 97 |
13
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) ∈ ℂ ) |
| 98 |
97
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) ∈ ℂ ) |
| 99 |
93 9
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → 𝐸 ∈ ℂ ) |
| 100 |
98 99
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ∈ ℂ ) |
| 101 |
100
|
abscld |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) ∈ ℝ ) |
| 102 |
27
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ∈ ℂ ) |
| 103 |
102
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ∈ ℂ ) |
| 104 |
93 11
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → 𝐼 ∈ ℂ ) |
| 105 |
103 104
|
subcld |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ∈ ℂ ) |
| 106 |
105
|
abscld |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) ∈ ℝ ) |
| 107 |
101 106
|
readdcld |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) + ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 108 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → 𝑦 ∈ ℝ ) |
| 109 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) |
| 110 |
|
nfmpt1 |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝐵 + 𝐶 ) ) |
| 111 |
3 110
|
nfcxfr |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝐻 |
| 112 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝑣 |
| 113 |
111 112
|
nffv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) |
| 114 |
|
nfmpt1 |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵 ) |
| 115 |
1 114
|
nfcxfr |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝐹 |
| 116 |
115 112
|
nffv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) |
| 117 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑥 + |
| 118 |
|
nfmpt1 |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶 ) |
| 119 |
2 118
|
nfcxfr |
⊢ Ⅎ 𝑥 𝐺 |
| 120 |
119 112
|
nffv |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) |
| 121 |
116 117 120
|
nfov |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) |
| 122 |
113 121
|
nfeq |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) |
| 123 |
109 122
|
nfim |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) |
| 124 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ) |
| 125 |
124
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ) ) |
| 126 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) ) |
| 127 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) ) |
| 128 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) |
| 129 |
127 128
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) |
| 130 |
126 129
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ↔ ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) ) |
| 131 |
125 130
|
imbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑣 → ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) ) ) |
| 132 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) |
| 133 |
3
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℂ ) → ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐵 + 𝐶 ) ) |
| 134 |
132 89 133
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) = ( 𝐵 + 𝐶 ) ) |
| 135 |
1
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 𝐵 ) |
| 136 |
132 4 135
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) = 𝐵 ) |
| 137 |
136
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐵 = ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) ) |
| 138 |
2
|
fvmpt2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = 𝐶 ) |
| 139 |
132 5 138
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) = 𝐶 ) |
| 140 |
139
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → 𝐶 = ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) |
| 141 |
137 140
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐵 + 𝐶 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 142 |
134 141
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑥 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑥 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑥 ) ) ) |
| 143 |
123 131 142
|
chvarfv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) |
| 144 |
143
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) = ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) ) |
| 145 |
144
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) ) |
| 146 |
98 103 99 104
|
addsub4d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) + ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) + ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) ) |
| 147 |
145 146
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) + ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) ) |
| 148 |
147
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) ) = ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) + ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) ) ) |
| 149 |
100 105
|
abstrid |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( abs ‘ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) + ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) + ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) ) ) |
| 150 |
148 149
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) ) ≤ ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) + ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) ) ) |
| 151 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) |
| 152 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) |
| 153 |
101 106 108 151 152
|
lt2halvesd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) + ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) ) < 𝑦 ) |
| 154 |
96 107 108 150 153
|
lelttrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) ) < 𝑦 ) |
| 155 |
77 88 154
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) ) < 𝑦 ) |
| 156 |
155
|
3exp |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) → ( 𝑣 ∈ 𝐴 → ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) ) < 𝑦 ) ) ) |
| 157 |
45 156
|
ralrimi |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) → ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) ) < 𝑦 ) ) |
| 158 |
|
brimralrspcev |
⊢ ( ( if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ∈ ℝ+ ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < if ( 𝑎 ≤ 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ) ) → ( abs ‘ ( ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) ) < 𝑦 ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) ) < 𝑦 ) ) |
| 159 |
39 157 158
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) ∧ ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) ∧ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) ) < 𝑦 ) ) |
| 160 |
159
|
3exp |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+ ) → ( ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) ) < 𝑦 ) ) ) ) |
| 161 |
160
|
rexlimdvv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ( ∃ 𝑎 ∈ ℝ+ ∃ 𝑏 ∈ ℝ+ ( ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑎 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐹 ‘ 𝑣 ) − 𝐸 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑏 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐺 ‘ 𝑣 ) − 𝐼 ) ) < ( 𝑦 / 2 ) ) ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) ) < 𝑦 ) ) ) |
| 162 |
37 161
|
mpd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+ ) → ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) ) < 𝑦 ) ) |
| 163 |
162
|
ralrimiva |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) ) < 𝑦 ) ) |
| 164 |
90 14 17
|
ellimc3 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 + 𝐼 ) ∈ ( 𝐻 limℂ 𝐷 ) ↔ ( ( 𝐸 + 𝐼 ) ∈ ℂ ∧ ∀ 𝑦 ∈ ℝ+ ∃ 𝑤 ∈ ℝ+ ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( 𝑣 ≠ 𝐷 ∧ ( abs ‘ ( 𝑣 − 𝐷 ) ) < 𝑤 ) → ( abs ‘ ( ( 𝐻 ‘ 𝑣 ) − ( 𝐸 + 𝐼 ) ) ) < 𝑦 ) ) ) ) |
| 165 |
12 163 164
|
mpbir2and |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 + 𝐼 ) ∈ ( 𝐻 limℂ 𝐷 ) ) |