Theorem addmulmodb

Description: An integer plus a product is itself modulo a positive integer iff the product is divisible by the positive integer. (Contributed by AV, 8-Sep-2025)

	Ref	Expression
Assertion	addmulmodb	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ↔ ( ( 𝐴 + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) mod 𝑁 ) = ( 𝐴 mod 𝑁 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) → 𝐴 ∈ ℤ )
2	1	zcnd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) → 𝐴 ∈ ℂ )
3	2	adantl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ) → 𝐴 ∈ ℂ )
4		zmulcl	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℤ )
5	4	zcnd	⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℂ )
6	5	3adant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℂ )
7	6	adantl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℂ )
8	3 7	pncan2d	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝐴 + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) − 𝐴 ) = ( 𝐵 · 𝐶 ) )
9	8	eqcomd	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) = ( ( 𝐴 + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) − 𝐴 ) )
10	9	breq2d	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ↔ 𝑁 ∥ ( ( 𝐴 + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) − 𝐴 ) ) )
11		simpl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
12	4	3adant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) → ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℤ )
13	1 12	zaddcld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∈ ℤ )
14	13	adantl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐴 + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∈ ℤ )
15	1	adantl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ) → 𝐴 ∈ ℤ )
16		moddvds	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) mod 𝑁 ) = ( 𝐴 mod 𝑁 ) ↔ 𝑁 ∥ ( ( 𝐴 + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) − 𝐴 ) ) )
17	11 14 15 16	syl3anc	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝐴 + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) mod 𝑁 ) = ( 𝐴 mod 𝑁 ) ↔ 𝑁 ∥ ( ( 𝐴 + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) − 𝐴 ) ) )
18	10 17	bitr4d	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 ∥ ( 𝐵 · 𝐶 ) ↔ ( ( 𝐴 + ( 𝐵 · 𝐶 ) ) mod 𝑁 ) = ( 𝐴 mod 𝑁 ) ) )