Theorem affineequiv2

Description: Equivalence between two ways of expressing B as an affine combination of A and C . (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017)

	Ref	Expression
Hypotheses	affineequiv.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
	affineequiv.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
	affineequiv.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
	affineequiv.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ )
Assertion	affineequiv2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 = ( ( 𝐷 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝐷 ) · 𝐶 ) ) ↔ ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( ( 1 − 𝐷 ) · ( 𝐶 − 𝐴 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affineequiv.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ )
2		affineequiv.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ )
3		affineequiv.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ )
4		affineequiv.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ )
5	1 2 3 4	affineequiv	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 = ( ( 𝐷 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝐷 ) · 𝐶 ) ) ↔ ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐷 · ( 𝐶 − 𝐴 ) ) ) )
6	3 1	subcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐴 ) ∈ ℂ )
7	3 2	subcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐵 ) ∈ ℂ )
8	4 6	mulcld	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 · ( 𝐶 − 𝐴 ) ) ∈ ℂ )
9	6 7 8	subcanad	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐶 − 𝐴 ) − ( 𝐶 − 𝐵 ) ) = ( ( 𝐶 − 𝐴 ) − ( 𝐷 · ( 𝐶 − 𝐴 ) ) ) ↔ ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐷 · ( 𝐶 − 𝐴 ) ) ) )
10	3 1 2	nnncan1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 − 𝐴 ) − ( 𝐶 − 𝐵 ) ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) )
11		1cnd	⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ )
12	11 4 6	subdird	⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 − 𝐷 ) · ( 𝐶 − 𝐴 ) ) = ( ( 1 · ( 𝐶 − 𝐴 ) ) − ( 𝐷 · ( 𝐶 − 𝐴 ) ) ) )
13	6	mullidd	⊢ ( 𝜑 → ( 1 · ( 𝐶 − 𝐴 ) ) = ( 𝐶 − 𝐴 ) )
14	13	oveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 · ( 𝐶 − 𝐴 ) ) − ( 𝐷 · ( 𝐶 − 𝐴 ) ) ) = ( ( 𝐶 − 𝐴 ) − ( 𝐷 · ( 𝐶 − 𝐴 ) ) ) )
15	12 14	eqtr2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 − 𝐴 ) − ( 𝐷 · ( 𝐶 − 𝐴 ) ) ) = ( ( 1 − 𝐷 ) · ( 𝐶 − 𝐴 ) ) )
16	10 15	eqeq12d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐶 − 𝐴 ) − ( 𝐶 − 𝐵 ) ) = ( ( 𝐶 − 𝐴 ) − ( 𝐷 · ( 𝐶 − 𝐴 ) ) ) ↔ ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( ( 1 − 𝐷 ) · ( 𝐶 − 𝐴 ) ) ) )
17	5 9 16	3bitr2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 = ( ( 𝐷 · 𝐴 ) + ( ( 1 − 𝐷 ) · 𝐶 ) ) ↔ ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( ( 1 − 𝐷 ) · ( 𝐶 − 𝐴 ) ) ) )