Metamath Proof Explorer


Theorem ascl1

Description: The scalar 1 embedded into a left module corresponds to the 1 of the left module if the left module is also a ring. (Contributed by AV, 31-Jul-2019)

Ref Expression
Hypotheses ascl0.a โŠข ๐ด = ( algSc โ€˜ ๐‘Š )
ascl0.f โŠข ๐น = ( Scalar โ€˜ ๐‘Š )
ascl0.l โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ LMod )
ascl0.r โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ Ring )
Assertion ascl1 ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ด โ€˜ ( 1r โ€˜ ๐น ) ) = ( 1r โ€˜ ๐‘Š ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ascl0.a โŠข ๐ด = ( algSc โ€˜ ๐‘Š )
2 ascl0.f โŠข ๐น = ( Scalar โ€˜ ๐‘Š )
3 ascl0.l โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ LMod )
4 ascl0.r โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ Ring )
5 2 lmodring โŠข ( ๐‘Š โˆˆ LMod โ†’ ๐น โˆˆ Ring )
6 eqid โŠข ( Base โ€˜ ๐น ) = ( Base โ€˜ ๐น )
7 eqid โŠข ( 1r โ€˜ ๐น ) = ( 1r โ€˜ ๐น )
8 6 7 ringidcl โŠข ( ๐น โˆˆ Ring โ†’ ( 1r โ€˜ ๐น ) โˆˆ ( Base โ€˜ ๐น ) )
9 eqid โŠข ( ยท๐‘  โ€˜ ๐‘Š ) = ( ยท๐‘  โ€˜ ๐‘Š )
10 eqid โŠข ( 1r โ€˜ ๐‘Š ) = ( 1r โ€˜ ๐‘Š )
11 1 2 6 9 10 asclval โŠข ( ( 1r โ€˜ ๐น ) โˆˆ ( Base โ€˜ ๐น ) โ†’ ( ๐ด โ€˜ ( 1r โ€˜ ๐น ) ) = ( ( 1r โ€˜ ๐น ) ( ยท๐‘  โ€˜ ๐‘Š ) ( 1r โ€˜ ๐‘Š ) ) )
12 3 5 8 11 4syl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ด โ€˜ ( 1r โ€˜ ๐น ) ) = ( ( 1r โ€˜ ๐น ) ( ยท๐‘  โ€˜ ๐‘Š ) ( 1r โ€˜ ๐‘Š ) ) )
13 eqid โŠข ( Base โ€˜ ๐‘Š ) = ( Base โ€˜ ๐‘Š )
14 13 10 ringidcl โŠข ( ๐‘Š โˆˆ Ring โ†’ ( 1r โ€˜ ๐‘Š ) โˆˆ ( Base โ€˜ ๐‘Š ) )
15 4 14 syl โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( 1r โ€˜ ๐‘Š ) โˆˆ ( Base โ€˜ ๐‘Š ) )
16 13 2 9 7 lmodvs1 โŠข ( ( ๐‘Š โˆˆ LMod โˆง ( 1r โ€˜ ๐‘Š ) โˆˆ ( Base โ€˜ ๐‘Š ) ) โ†’ ( ( 1r โ€˜ ๐น ) ( ยท๐‘  โ€˜ ๐‘Š ) ( 1r โ€˜ ๐‘Š ) ) = ( 1r โ€˜ ๐‘Š ) )
17 3 15 16 syl2anc โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ( 1r โ€˜ ๐น ) ( ยท๐‘  โ€˜ ๐‘Š ) ( 1r โ€˜ ๐‘Š ) ) = ( 1r โ€˜ ๐‘Š ) )
18 12 17 eqtrd โŠข ( ๐œ‘ โ†’ ( ๐ด โ€˜ ( 1r โ€˜ ๐น ) ) = ( 1r โ€˜ ๐‘Š ) )