Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
asclpropd.f |
โข ๐น = ( Scalar โ ๐พ ) |
2 |
|
asclpropd.g |
โข ๐บ = ( Scalar โ ๐ฟ ) |
3 |
|
asclpropd.1 |
โข ( ๐ โ ๐ = ( Base โ ๐น ) ) |
4 |
|
asclpropd.2 |
โข ( ๐ โ ๐ = ( Base โ ๐บ ) ) |
5 |
|
asclpropd.3 |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ฅ โ ๐ โง ๐ฆ โ ๐ ) ) โ ( ๐ฅ ( ยท๐ โ ๐พ ) ๐ฆ ) = ( ๐ฅ ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ๐ฆ ) ) |
6 |
|
asclpropd.4 |
โข ( ๐ โ ( 1r โ ๐พ ) = ( 1r โ ๐ฟ ) ) |
7 |
|
asclpropd.5 |
โข ( ๐ โ ( 1r โ ๐พ ) โ ๐ ) |
8 |
5
|
oveqrspc2v |
โข ( ( ๐ โง ( ๐ง โ ๐ โง ( 1r โ ๐พ ) โ ๐ ) ) โ ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐พ ) ( 1r โ ๐พ ) ) = ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ( 1r โ ๐พ ) ) ) |
9 |
8
|
anassrs |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ ) โง ( 1r โ ๐พ ) โ ๐ ) โ ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐พ ) ( 1r โ ๐พ ) ) = ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ( 1r โ ๐พ ) ) ) |
10 |
7 9
|
mpidan |
โข ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ ) โ ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐พ ) ( 1r โ ๐พ ) ) = ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ( 1r โ ๐พ ) ) ) |
11 |
6
|
oveq2d |
โข ( ๐ โ ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ( 1r โ ๐พ ) ) = ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ( 1r โ ๐ฟ ) ) ) |
12 |
11
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ ) โ ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ( 1r โ ๐พ ) ) = ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ( 1r โ ๐ฟ ) ) ) |
13 |
10 12
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ง โ ๐ ) โ ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐พ ) ( 1r โ ๐พ ) ) = ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ( 1r โ ๐ฟ ) ) ) |
14 |
13
|
mpteq2dva |
โข ( ๐ โ ( ๐ง โ ๐ โฆ ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐พ ) ( 1r โ ๐พ ) ) ) = ( ๐ง โ ๐ โฆ ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ( 1r โ ๐ฟ ) ) ) ) |
15 |
3
|
mpteq1d |
โข ( ๐ โ ( ๐ง โ ๐ โฆ ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐พ ) ( 1r โ ๐พ ) ) ) = ( ๐ง โ ( Base โ ๐น ) โฆ ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐พ ) ( 1r โ ๐พ ) ) ) ) |
16 |
4
|
mpteq1d |
โข ( ๐ โ ( ๐ง โ ๐ โฆ ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ( 1r โ ๐ฟ ) ) ) = ( ๐ง โ ( Base โ ๐บ ) โฆ ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ( 1r โ ๐ฟ ) ) ) ) |
17 |
14 15 16
|
3eqtr3d |
โข ( ๐ โ ( ๐ง โ ( Base โ ๐น ) โฆ ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐พ ) ( 1r โ ๐พ ) ) ) = ( ๐ง โ ( Base โ ๐บ ) โฆ ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ( 1r โ ๐ฟ ) ) ) ) |
18 |
|
eqid |
โข ( algSc โ ๐พ ) = ( algSc โ ๐พ ) |
19 |
|
eqid |
โข ( Base โ ๐น ) = ( Base โ ๐น ) |
20 |
|
eqid |
โข ( ยท๐ โ ๐พ ) = ( ยท๐ โ ๐พ ) |
21 |
|
eqid |
โข ( 1r โ ๐พ ) = ( 1r โ ๐พ ) |
22 |
18 1 19 20 21
|
asclfval |
โข ( algSc โ ๐พ ) = ( ๐ง โ ( Base โ ๐น ) โฆ ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐พ ) ( 1r โ ๐พ ) ) ) |
23 |
|
eqid |
โข ( algSc โ ๐ฟ ) = ( algSc โ ๐ฟ ) |
24 |
|
eqid |
โข ( Base โ ๐บ ) = ( Base โ ๐บ ) |
25 |
|
eqid |
โข ( ยท๐ โ ๐ฟ ) = ( ยท๐ โ ๐ฟ ) |
26 |
|
eqid |
โข ( 1r โ ๐ฟ ) = ( 1r โ ๐ฟ ) |
27 |
23 2 24 25 26
|
asclfval |
โข ( algSc โ ๐ฟ ) = ( ๐ง โ ( Base โ ๐บ ) โฆ ( ๐ง ( ยท๐ โ ๐ฟ ) ( 1r โ ๐ฟ ) ) ) |
28 |
17 22 27
|
3eqtr4g |
โข ( ๐ โ ( algSc โ ๐พ ) = ( algSc โ ๐ฟ ) ) |