| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
atansopn.d |
⊢ 𝐷 = ( ℂ ∖ ( -∞ (,] 0 ) ) |
| 2 |
|
atansopn.s |
⊢ 𝑆 = { 𝑦 ∈ ℂ ∣ ( 1 + ( 𝑦 ↑ 2 ) ) ∈ 𝐷 } |
| 3 |
|
sqcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
| 4 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
| 5 |
4
|
sqsqrtd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) = ( 𝐴 ↑ 2 ) ) |
| 6 |
5
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 𝐴 ↑ 2 ) = ( ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) ) |
| 7 |
4
|
sqrtcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
| 8 |
|
sqeqor |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) = ( ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) ↔ ( 𝐴 = ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∨ 𝐴 = - ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
| 9 |
7 8
|
syldan |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) = ( ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) ↔ ( 𝐴 = ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∨ 𝐴 = - ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
| 10 |
6 9
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 𝐴 = ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∨ 𝐴 = - ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) |
| 11 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
| 12 |
11
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
| 13 |
4
|
negnegd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → - - ( 𝐴 ↑ 2 ) = ( 𝐴 ↑ 2 ) ) |
| 14 |
13
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( √ ‘ - - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) = ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) |
| 15 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
| 16 |
|
pncan2 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) − 1 ) = ( 𝐴 ↑ 2 ) ) |
| 17 |
15 4 16
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) − 1 ) = ( 𝐴 ↑ 2 ) ) |
| 18 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) |
| 19 |
|
mnfxr |
⊢ -∞ ∈ ℝ* |
| 20 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
| 21 |
|
elioc2 |
⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ↔ ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ∧ -∞ < ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ≤ 0 ) ) ) |
| 22 |
19 20 21
|
mp2an |
⊢ ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ↔ ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ∧ -∞ < ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ≤ 0 ) ) |
| 23 |
18 22
|
sylib |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ∧ -∞ < ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ≤ 0 ) ) |
| 24 |
23
|
simp1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
| 25 |
|
resubcl |
⊢ ( ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) → ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) − 1 ) ∈ ℝ ) |
| 26 |
24 11 25
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) − 1 ) ∈ ℝ ) |
| 27 |
17 26
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
| 28 |
27
|
renegcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → - ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
| 29 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
| 30 |
|
0le1 |
⊢ 0 ≤ 1 |
| 31 |
30
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 0 ≤ 1 ) |
| 32 |
|
subneg |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) → ( 1 − - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) = ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) |
| 33 |
15 4 32
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 − - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) = ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) |
| 34 |
23
|
simp3d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ≤ 0 ) |
| 35 |
33 34
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 − - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ≤ 0 ) |
| 36 |
|
suble0 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) → ( ( 1 − - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ≤ 0 ↔ 1 ≤ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) |
| 37 |
11 28 36
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 − - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ≤ 0 ↔ 1 ≤ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) |
| 38 |
35 37
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 1 ≤ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) |
| 39 |
29 12 28 31 38
|
letrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 0 ≤ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) |
| 40 |
28 39
|
sqrtnegd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( √ ‘ - - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) = ( i · ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) |
| 41 |
14 40
|
eqtr3d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) = ( i · ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) |
| 42 |
41
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) = ( i · ( i · ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
| 43 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
| 44 |
43
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → i ∈ ℂ ) |
| 45 |
28 39
|
resqrtcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
| 46 |
45
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
| 47 |
44 44 46
|
mulassd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( i · i ) · ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) = ( i · ( i · ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
| 48 |
|
ixi |
⊢ ( i · i ) = - 1 |
| 49 |
48
|
oveq1i |
⊢ ( ( i · i ) · ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) = ( - 1 · ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) |
| 50 |
46
|
mulm1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( - 1 · ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) = - ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) |
| 51 |
49 50
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( i · i ) · ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) = - ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) |
| 52 |
42 47 51
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) = - ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) |
| 53 |
45
|
renegcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → - ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
| 54 |
52 53
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 55 |
12 54
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 56 |
55
|
mnfltd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → -∞ < ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
| 57 |
52
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) = ( 1 + - ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) |
| 58 |
|
negsub |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) → ( 1 + - ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) = ( 1 − ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) |
| 59 |
15 46 58
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 + - ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) = ( 1 − ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) |
| 60 |
57 59
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) = ( 1 − ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) |
| 61 |
|
sq1 |
⊢ ( 1 ↑ 2 ) = 1 |
| 62 |
61
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 ↑ 2 ) = 1 ) |
| 63 |
28
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → - ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
| 64 |
63
|
sqsqrtd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) = - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) |
| 65 |
38 62 64
|
3brtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 ↑ 2 ) ≤ ( ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) ) |
| 66 |
28 39
|
sqrtge0d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 0 ≤ ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) |
| 67 |
12 45 31 66
|
le2sqd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 ≤ ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ↔ ( 1 ↑ 2 ) ≤ ( ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
| 68 |
65 67
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 1 ≤ ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) |
| 69 |
12 45
|
suble0d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 − ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ≤ 0 ↔ 1 ≤ ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) |
| 70 |
68 69
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 − ( √ ‘ - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ≤ 0 ) |
| 71 |
60 70
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ≤ 0 ) |
| 72 |
|
elioc2 |
⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ↔ ( ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ℝ ∧ -∞ < ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ≤ 0 ) ) ) |
| 73 |
19 20 72
|
mp2an |
⊢ ( ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ↔ ( ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ℝ ∧ -∞ < ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∧ ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ≤ 0 ) ) |
| 74 |
55 56 71 73
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) |
| 75 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝐴 = ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) → ( i · 𝐴 ) = ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) |
| 76 |
75
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 = ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) = ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
| 77 |
76
|
eleq1d |
⊢ ( 𝐴 = ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ↔ ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 78 |
74 77
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 𝐴 = ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 79 |
|
mulneg2 |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) → ( i · - ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) = - ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) |
| 80 |
43 7 79
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( i · - ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) = - ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) |
| 81 |
80
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 − ( i · - ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) = ( 1 − - ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
| 82 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) → ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 83 |
43 7 82
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
| 84 |
|
subneg |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ∈ ℂ ) → ( 1 − - ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) = ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
| 85 |
15 83 84
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 − - ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) = ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
| 86 |
81 85
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 − ( i · - ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) = ( 1 + ( i · ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
| 87 |
86 74
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 − ( i · - ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) |
| 88 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝐴 = - ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) → ( i · 𝐴 ) = ( i · - ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) |
| 89 |
88
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 = - ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) = ( 1 − ( i · - ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ) |
| 90 |
89
|
eleq1d |
⊢ ( 𝐴 = - ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) → ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ↔ ( 1 − ( i · - ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 91 |
87 90
|
syl5ibrcom |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 𝐴 = - ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 92 |
78 91
|
orim12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 𝐴 = ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∨ 𝐴 = - ( √ ‘ ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ∨ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) ) |
| 93 |
10 92
|
mpd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ∨ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 94 |
93
|
orcomd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ∨ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 95 |
61
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 1 ↑ 2 ) = 1 ) |
| 96 |
|
sqmul |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( ( i · 𝐴 ) ↑ 2 ) = ( ( i ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) |
| 97 |
43 96
|
mpan |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( i · 𝐴 ) ↑ 2 ) = ( ( i ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) |
| 98 |
|
i2 |
⊢ ( i ↑ 2 ) = - 1 |
| 99 |
98
|
oveq1i |
⊢ ( ( i ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) = ( - 1 · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) |
| 100 |
3
|
mulm1d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( - 1 · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) = - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) |
| 101 |
99 100
|
syl5eq |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( i ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) = - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) |
| 102 |
97 101
|
eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( i · 𝐴 ) ↑ 2 ) = - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) |
| 103 |
95 102
|
oveq12d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 1 ↑ 2 ) − ( ( i · 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( 1 − - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) |
| 104 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 105 |
43 104
|
mpan |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
| 106 |
|
subsq |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 ↑ 2 ) − ( ( i · 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
| 107 |
15 105 106
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 1 ↑ 2 ) − ( ( i · 𝐴 ) ↑ 2 ) ) = ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
| 108 |
15 3 32
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 1 − - ( 𝐴 ↑ 2 ) ) = ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) |
| 109 |
103 107 108
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) = ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) |
| 110 |
109
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ∨ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) = ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) |
| 111 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
| 112 |
111
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ ) |
| 113 |
15
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ ) |
| 114 |
112 113 105
|
subsubd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 2 − ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) = ( ( 2 − 1 ) + ( i · 𝐴 ) ) ) |
| 115 |
|
2m1e1 |
⊢ ( 2 − 1 ) = 1 |
| 116 |
115
|
oveq1i |
⊢ ( ( 2 − 1 ) + ( i · 𝐴 ) ) = ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) |
| 117 |
114 116
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 2 − ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) = ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) |
| 118 |
117
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 2 − ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) = ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) |
| 119 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
| 120 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) |
| 121 |
|
elioc2 |
⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ↔ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ -∞ < ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ≤ 0 ) ) ) |
| 122 |
19 20 121
|
mp2an |
⊢ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ↔ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ -∞ < ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ≤ 0 ) ) |
| 123 |
120 122
|
sylib |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ -∞ < ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ≤ 0 ) ) |
| 124 |
123
|
simp1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
| 125 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) → ( 2 − ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 126 |
119 124 125
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 2 − ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 127 |
118 126
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
| 128 |
127 124
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 129 |
128
|
mnfltd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → -∞ < ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
| 130 |
123
|
simp3d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ≤ 0 ) |
| 131 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
| 132 |
119
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 2 ∈ ℝ ) |
| 133 |
|
2pos |
⊢ 0 < 2 |
| 134 |
133
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 0 < 2 ) |
| 135 |
111
|
subid1i |
⊢ ( 2 − 0 ) = 2 |
| 136 |
124 131 132 130
|
lesub2dd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 2 − 0 ) ≤ ( 2 − ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
| 137 |
135 136
|
eqbrtrrid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 2 ≤ ( 2 − ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
| 138 |
137 118
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 2 ≤ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) |
| 139 |
131 132 127 134 138
|
ltletrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 0 < ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) |
| 140 |
|
lemul2 |
⊢ ( ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) → ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ≤ 0 ↔ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ≤ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · 0 ) ) ) |
| 141 |
124 131 127 139 140
|
syl112anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ≤ 0 ↔ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ≤ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · 0 ) ) ) |
| 142 |
130 141
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ≤ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · 0 ) ) |
| 143 |
|
addcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 144 |
15 105 143
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 145 |
144
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 146 |
145
|
mul01d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · 0 ) = 0 ) |
| 147 |
142 146
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ≤ 0 ) |
| 148 |
|
elioc2 |
⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ↔ ( ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ ∧ -∞ < ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ≤ 0 ) ) ) |
| 149 |
19 20 148
|
mp2an |
⊢ ( ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ↔ ( ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ ∧ -∞ < ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ≤ 0 ) ) |
| 150 |
128 129 147 149
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) |
| 151 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) |
| 152 |
|
elioc2 |
⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ ) → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ↔ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ -∞ < ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ≤ 0 ) ) ) |
| 153 |
19 20 152
|
mp2an |
⊢ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ↔ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ -∞ < ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ≤ 0 ) ) |
| 154 |
151 153
|
sylib |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ -∞ < ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ≤ 0 ) ) |
| 155 |
154
|
simp1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
| 156 |
112 113 105
|
subsub4d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 2 − 1 ) − ( i · 𝐴 ) ) = ( 2 − ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
| 157 |
115
|
oveq1i |
⊢ ( ( 2 − 1 ) − ( i · 𝐴 ) ) = ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) |
| 158 |
156 157
|
eqtr3di |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 2 − ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) = ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) |
| 159 |
158
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 2 − ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) = ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) |
| 160 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) → ( 2 − ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 161 |
119 155 160
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 2 − ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 162 |
159 161
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ) |
| 163 |
155 162
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℝ ) |
| 164 |
163
|
mnfltd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → -∞ < ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
| 165 |
154
|
simp3d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ≤ 0 ) |
| 166 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
| 167 |
119
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 2 ∈ ℝ ) |
| 168 |
133
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 0 < 2 ) |
| 169 |
155 166 167 165
|
lesub2dd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 2 − 0 ) ≤ ( 2 − ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
| 170 |
135 169
|
eqbrtrrid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 2 ≤ ( 2 − ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
| 171 |
170 159
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 2 ≤ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) |
| 172 |
166 167 162 168 171
|
ltletrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → 0 < ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) |
| 173 |
|
lemul1 |
⊢ ( ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ≤ 0 ↔ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ≤ ( 0 · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 174 |
155 166 162 172 173
|
syl112anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ≤ 0 ↔ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ≤ ( 0 · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) |
| 175 |
165 174
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ≤ ( 0 · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
| 176 |
162
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 177 |
176
|
mul02d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( 0 · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) = 0 ) |
| 178 |
175 177
|
breqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ≤ 0 ) |
| 179 |
163 164 178 149
|
syl3anbrc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) |
| 180 |
150 179
|
jaodan |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ∨ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) |
| 181 |
110 180
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ∨ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) → ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) |
| 182 |
94 181
|
impbida |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ↔ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ∨ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) ) |
| 183 |
182
|
notbid |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ¬ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ↔ ¬ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ∨ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) ) |
| 184 |
|
ioran |
⊢ ( ¬ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ∨ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ↔ ( ¬ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ∧ ¬ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 185 |
183 184
|
bitrdi |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ¬ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ↔ ( ¬ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ∧ ¬ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) ) |
| 186 |
|
addcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) → ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
| 187 |
15 3 186
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
| 188 |
1
|
eleq2i |
⊢ ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( ℂ ∖ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 189 |
|
eldif |
⊢ ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( ℂ ∖ ( -∞ (,] 0 ) ) ↔ ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ∧ ¬ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 190 |
188 189
|
bitri |
⊢ ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ∧ ¬ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 191 |
190
|
baib |
⊢ ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ → ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ¬ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 192 |
187 191
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ¬ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 193 |
|
subcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 194 |
15 105 193
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
| 195 |
1
|
eleq2i |
⊢ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( ℂ ∖ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 196 |
|
eldif |
⊢ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( ℂ ∖ ( -∞ (,] 0 ) ) ↔ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ∧ ¬ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 197 |
195 196
|
bitri |
⊢ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ∧ ¬ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 198 |
197
|
baib |
⊢ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ → ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ¬ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 199 |
194 198
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ¬ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 200 |
1
|
eleq2i |
⊢ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( ℂ ∖ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 201 |
|
eldif |
⊢ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( ℂ ∖ ( -∞ (,] 0 ) ) ↔ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ∧ ¬ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 202 |
200 201
|
bitri |
⊢ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ∧ ¬ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 203 |
202
|
baib |
⊢ ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ¬ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 204 |
144 203
|
syl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ¬ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) |
| 205 |
199 204
|
anbi12d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( ¬ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ∧ ¬ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ( -∞ (,] 0 ) ) ) ) |
| 206 |
185 192 205
|
3bitr4d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ 𝐷 ↔ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ) ) ) |
| 207 |
206
|
pm5.32i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ) ) ) |
| 208 |
1 2
|
atans |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ 𝐷 ) ) |
| 209 |
|
3anass |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ) ↔ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ) ) ) |
| 210 |
207 208 209
|
3bitr4i |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ 𝐷 ) ) |