Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
atoml.1 |
⊢ 𝐴 ∈ Cℋ |
2 |
1
|
hatomici |
⊢ ( 𝐴 ≠ 0ℋ → ∃ 𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴 ) |
3 |
|
nssne2 |
⊢ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) → 𝑥 ≠ 𝐵 ) |
4 |
3
|
adantrl |
⊢ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) → 𝑥 ≠ 𝐵 ) |
5 |
|
atnemeq0 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ) → ( 𝑥 ≠ 𝐵 ↔ ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) = 0ℋ ) ) |
6 |
4 5
|
syl5ib |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) → ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) = 0ℋ ) ) |
7 |
|
atelch |
⊢ ( 𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥 ∈ Cℋ ) |
8 |
|
cvp |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) = 0ℋ ↔ 𝑥 ⋖ℋ ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ) ) |
9 |
|
atelch |
⊢ ( 𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵 ∈ Cℋ ) |
10 |
|
chjcom |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) = ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) |
11 |
9 10
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ) → ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) = ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) |
12 |
11
|
breq2d |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ) → ( 𝑥 ⋖ℋ ( 𝑥 ∨ℋ 𝐵 ) ↔ 𝑥 ⋖ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
13 |
8 12
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) = 0ℋ ↔ 𝑥 ⋖ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
14 |
7 13
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) = 0ℋ ↔ 𝑥 ⋖ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
15 |
6 14
|
sylibd |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) → 𝑥 ⋖ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
16 |
15
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) → 𝑥 ⋖ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
17 |
16
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) → 𝑥 ⋖ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
18 |
17
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) ) → 𝑥 ⋖ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) |
19 |
|
chub1 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) |
20 |
9 7 19
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) → 𝐵 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) |
21 |
20
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) → 𝐵 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) |
22 |
21
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) → 𝐵 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) |
23 |
|
pssss |
⊢ ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) → 𝐴 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) |
24 |
|
sstr |
⊢ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) → 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) |
25 |
23 24
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) → 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) |
26 |
25
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) → 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) |
27 |
26
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) → 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) |
28 |
|
incom |
⊢ ( 𝐵 ∩ 𝑥 ) = ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) |
29 |
3 5
|
syl5ib |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) → ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) = 0ℋ ) ) |
30 |
29
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) → ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) = 0ℋ ) ) |
31 |
30
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) → ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) = 0ℋ ) ) |
32 |
31
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) → ( 𝑥 ∩ 𝐵 ) = 0ℋ ) |
33 |
28 32
|
syl5eq |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) → ( 𝐵 ∩ 𝑥 ) = 0ℋ ) |
34 |
33
|
adantrr |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐵 ∩ 𝑥 ) = 0ℋ ) |
35 |
|
atexch |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ∩ 𝑥 ) = 0ℋ ) → 𝐶 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
36 |
9 35
|
syl3an1 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ∩ 𝑥 ) = 0ℋ ) → 𝐶 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
37 |
36
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 ∩ 𝑥 ) = 0ℋ ) → 𝐶 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
38 |
27 34 37
|
mp2and |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) → 𝐶 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) |
39 |
|
atelch |
⊢ ( 𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶 ∈ Cℋ ) |
40 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ∈ Cℋ ) |
41 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐶 ∈ Cℋ ) |
42 |
|
chjcl |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) |
43 |
42
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) |
44 |
40 41 43
|
3jca |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) ) |
45 |
9 7 39 44
|
syl3an |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) → ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) ) |
46 |
|
chlub |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐵 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∧ 𝐶 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ↔ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
47 |
45 46
|
syl |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝐵 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∧ 𝐶 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ↔ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
48 |
47
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝐵 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∧ 𝐶 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ↔ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
49 |
22 38 48
|
mpbi2and |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) |
50 |
|
chub1 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) |
51 |
50
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → 𝐵 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) |
52 |
51 26
|
anim12i |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐵 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) |
53 |
|
chjcl |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∈ Cℋ ) |
54 |
53
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∈ Cℋ ) |
55 |
|
chlub |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐵 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ↔ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) |
56 |
54 55
|
syld3an3 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝐵 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ↔ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) |
57 |
56
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝐵 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ↔ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) |
58 |
52 57
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) |
59 |
9 7 39 58
|
syl3anl |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ⊆ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) |
60 |
49 59
|
eqssd |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) = ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) |
61 |
60
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) → ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) = ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) |
62 |
61
|
psseq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) → ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ↔ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
63 |
62
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) → ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) → ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ↔ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) ) |
64 |
63
|
ibd |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) → ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) → 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) |
65 |
64
|
exp32 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐴 → ( ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) → 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) ) ) |
66 |
65
|
3expa |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐴 → ( ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) → 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) ) ) |
67 |
66
|
an32s |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐴 → ( ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) → 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) ) ) |
68 |
67
|
com34 |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐴 → ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) → ( ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) ) ) ) |
69 |
68
|
imp45 |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) |
70 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → 𝑥 ∈ Cℋ ) |
71 |
70 42
|
jca |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) ) |
72 |
9 7 71
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) → ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) ) |
73 |
|
cvnbtwn3 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ( 𝑥 ⋖ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) → ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) → 𝐴 = 𝑥 ) ) ) |
74 |
1 73
|
mp3an3 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) → ( 𝑥 ⋖ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) → ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) → 𝐴 = 𝑥 ) ) ) |
75 |
74
|
exp4a |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) → ( 𝑥 ⋖ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐴 → ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) → 𝐴 = 𝑥 ) ) ) ) |
76 |
75
|
com23 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐴 → ( 𝑥 ⋖ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) → ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) → 𝐴 = 𝑥 ) ) ) ) |
77 |
76
|
imp4a |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∈ Cℋ ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐴 → ( ( 𝑥 ⋖ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) → 𝐴 = 𝑥 ) ) ) |
78 |
72 77
|
syl |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐴 → ( ( 𝑥 ⋖ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) → 𝐴 = 𝑥 ) ) ) |
79 |
78
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐴 → ( ( 𝑥 ⋖ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) → 𝐴 = 𝑥 ) ) ) |
80 |
79
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴 ) → ( ( 𝑥 ⋖ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) → 𝐴 = 𝑥 ) ) |
81 |
80
|
adantrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑥 ⋖ℋ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝑥 ) ) → 𝐴 = 𝑥 ) ) |
82 |
18 69 81
|
mp2and |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) ) → 𝐴 = 𝑥 ) |
83 |
82
|
eleq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 ∈ HAtoms ↔ 𝑥 ∈ HAtoms ) ) |
84 |
83
|
biimprcd |
⊢ ( 𝑥 ∈ HAtoms → ( ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ∈ HAtoms ) ) |
85 |
84
|
exp4c |
⊢ ( 𝑥 ∈ HAtoms → ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) → ( 𝑥 ∈ HAtoms → ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) → 𝐴 ∈ HAtoms ) ) ) ) |
86 |
85
|
pm2.43b |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) → ( 𝑥 ∈ HAtoms → ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) → 𝐴 ∈ HAtoms ) ) ) |
87 |
86
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) → ( ( 𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ∧ ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) ) → 𝐴 ∈ HAtoms ) ) |
88 |
87
|
exp4d |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐴 → ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) → ( ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms ) ) ) ) |
89 |
88
|
rexlimdva |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) → ( ∃ 𝑥 ∈ HAtoms 𝑥 ⊆ 𝐴 → ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) → ( ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms ) ) ) ) |
90 |
2 89
|
syl5 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) → ( 𝐴 ≠ 0ℋ → ( 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) → ( ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms ) ) ) ) |
91 |
90
|
imp32 |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms ) ∧ ( 𝐴 ≠ 0ℋ ∧ 𝐴 ⊊ ( 𝐵 ∨ℋ 𝐶 ) ) ) → ( ¬ 𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐴 ∈ HAtoms ) ) |