Theorem atcvrlln

Description: An element covering an atom is a lattice line and vice-versa. (Contributed by NM, 18-Jun-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	atcvrlln.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	atcvrlln.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘ 𝐾 )
	atcvrlln.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	atcvrlln.n	⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
Assertion	atcvrlln	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) → ( 𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝑁 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atcvrlln.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		atcvrlln.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘ 𝐾 )
3		atcvrlln.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4		atcvrlln.n	⊢ 𝑁 = ( LLines ‘ 𝐾 )
5		simpll1	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ HL )
6		simpll3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
7		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ) → 𝑋 ∈ 𝐴 )
8		simplr	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ) → 𝑋 𝐶 𝑌 )
9	1 2 3 4	llni	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) → 𝑌 ∈ 𝑁 )
10	5 6 7 8 9	syl31anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ) → 𝑌 ∈ 𝑁 )
11		simpr	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → 𝑌 ∈ 𝑁 )
12		simpll1	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → 𝐾 ∈ HL )
13		simpll3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
14		eqid	⊢ ( join ‘ 𝐾 ) = ( join ‘ 𝐾 )
15	1 14 3 4	islln3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 ∈ 𝑁 ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) )
16	12 13 15	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑌 ∈ 𝑁 ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) )
17	11 16	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) )
18		simp1l1	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
19		simp1l2	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
20		simp2l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → 𝑝 ∈ 𝐴 )
21		simp2r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → 𝑞 ∈ 𝐴 )
22		simp3l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → 𝑝 ≠ 𝑞 )
23		simp1r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → 𝑋 𝐶 𝑌 )
24		simp3r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) )
25	23 24	breqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → 𝑋 𝐶 ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) )
26	1 14 2 3	cvrat2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 𝐶 ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝐴 )
27	18 19 20 21 22 25 26	syl132anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝐴 )
28	27	3exp	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) → ( ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐴 ) ) )
29	28	rexlimdvv	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐴 ) )
30	29	adantr	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑌 = ( 𝑝 ( join ‘ 𝐾 ) 𝑞 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐴 ) )
31	17 30	mpd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝑁 ) → 𝑋 ∈ 𝐴 )
32	10 31	impbida	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 𝐶 𝑌 ) → ( 𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑌 ∈ 𝑁 ) )