Theorem atmod1i1

Description: Version of modular law pmod1i that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 11-May-2012) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	atmod.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	atmod.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	atmod.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	atmod.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	atmod.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion	atmod1i1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑌 ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atmod.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		atmod.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		atmod.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		atmod.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		atmod.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		simpl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
7		simpr2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
8		simpr1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
9		eqid	⊢ ( pmap ‘ 𝐾 ) = ( pmap ‘ 𝐾 )
10		eqid	⊢ ( +𝑃 ‘ 𝐾 ) = ( +𝑃 ‘ 𝐾 )
11	1 3 5 9 10	pmapjat2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( ( pmap ‘ 𝐾 ) ‘ ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ) = ( ( ( pmap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑃 ) ( +𝑃 ‘ 𝐾 ) ( ( pmap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑋 ) ) )
12	6 7 8 11	syl3anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( pmap ‘ 𝐾 ) ‘ ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ) = ( ( ( pmap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑃 ) ( +𝑃 ‘ 𝐾 ) ( ( pmap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑋 ) ) )
13	1 5	atbase	⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵 )
14	1 2 3 4 9 10	hlmod1i	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑃 ≤ 𝑌 ∧ ( ( pmap ‘ 𝐾 ) ‘ ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ) = ( ( ( pmap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑃 ) ( +𝑃 ‘ 𝐾 ) ( ( pmap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) )
15	13 14	syl3anr1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑃 ≤ 𝑌 ∧ ( ( pmap ‘ 𝐾 ) ‘ ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ) = ( ( ( pmap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑃 ) ( +𝑃 ‘ 𝐾 ) ( ( pmap ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑋 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) )
16	12 15	mpan2d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑃 ≤ 𝑌 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) ) )
17	16	3impia	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑌 ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) )
18	17	eqcomd	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑌 ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑋 ) ∧ 𝑌 ) )