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Theorem atmod3i1

Description: Version of modular law that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 4-Jun-2012) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses atmod.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
atmod.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
atmod.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
atmod.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
atmod.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion atmod3i1 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 atmod.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 atmod.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 atmod.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 atmod.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 atmod.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 simp1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → 𝐾 ∈ HL )
7 simp21 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
8 simp23 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
9 simp22 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
10 simp3 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → 𝑃 ≤ 𝑋 )
11 1 2 3 4 5 atmod1i1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ) )
12 6 7 8 9 10 11 syl131anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ) )
13 hllat ⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat )
14 13 3ad2ant1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → 𝐾 ∈ Lat )
15 1 4 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) )
16 14 9 8 15 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) )
17 16 oveq2d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ) )
18 1 5 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵 )
19 7 18 syl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → 𝑃 ∈ 𝐵 )
20 1 3 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
21 14 19 8 20 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
22 1 4 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ) )
23 14 9 21 22 syl3anc ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑋 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ∧ 𝑋 ) )
24 12 17 23 3eqtr4d ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋 ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( 𝑋 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑌 ) ) )