Metamath Proof Explorer


Theorem axsegcon

Description: Any segment A B can be extended to a point x such that B x is congruent to C D . Axiom A4 of Schwabhauser p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 4-Jun-2013)

Ref Expression
Assertion axsegcon ( ( ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ โˆƒ ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ( ๐ต Btwn โŸจ ๐ด , ๐‘ฅ โŸฉ โˆง โŸจ ๐ต , ๐‘ฅ โŸฉ Cgr โŸจ ๐ถ , ๐ท โŸฉ ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 axsegconlem1 โŠข ( ( ๐ด = ๐ต โˆง ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) โ†’ โˆƒ ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆƒ ๐‘ก โˆˆ ( 0 [,] 1 ) ( โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) ) โˆง ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) )
2 1 ex โŠข ( ๐ด = ๐ต โ†’ ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ โˆƒ ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆƒ ๐‘ก โˆˆ ( 0 [,] 1 ) ( โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) ) โˆง ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) ) )
3 simprll โŠข ( ( ๐ด โ‰  ๐ต โˆง ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) โ†’ ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) )
4 simprlr โŠข ( ( ๐ด โ‰  ๐ต โˆง ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) โ†’ ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) )
5 simpl โŠข ( ( ๐ด โ‰  ๐ต โˆง ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต )
6 simprr โŠข ( ( ๐ด โ‰  ๐ต โˆง ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) โ†’ ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) )
7 eqid โŠข ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 )
8 eqid โŠข ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 )
9 eqid โŠข ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) = ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) )
10 7 8 9 axsegconlem8 โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) )
11 7 8 axsegconlem7 โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โˆˆ ( 0 [,] 1 ) )
12 7 8 9 axsegconlem10 โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) ยท ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) ) )
13 7 8 9 axsegconlem9 โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) )
14 fveq1 โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ†’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) )
15 14 oveq2d โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ†’ ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) = ( ๐‘ก ยท ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) )
16 15 oveq2d โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ†’ ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) ) )
17 16 eqeq2d โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ†’ ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) ) โ†” ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) ) ) )
18 17 ralbidv โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ†’ ( โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) ) โ†” โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) ) ) )
19 14 oveq2d โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ†’ ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) = ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) )
20 19 oveq1d โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ†’ ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) )
21 20 sumeq2sdv โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ†’ ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) )
22 21 eqeq1d โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ†’ ( ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) โ†” ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) )
23 18 22 anbi12d โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ†’ ( ( โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) ) โˆง ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) โ†” ( โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) ) โˆง ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) ) )
24 oveq2 โŠข ( ๐‘ก = ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ†’ ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) = ( 1 โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) ) )
25 24 oveq1d โŠข ( ๐‘ก = ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ†’ ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) = ( ( 1 โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) )
26 oveq1 โŠข ( ๐‘ก = ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ†’ ( ๐‘ก ยท ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) = ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) ยท ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) )
27 25 26 oveq12d โŠข ( ๐‘ก = ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ†’ ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) ) = ( ( ( 1 โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) ยท ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) ) )
28 27 eqeq2d โŠข ( ๐‘ก = ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ†’ ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) ) โ†” ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) ยท ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) ) ) )
29 28 ralbidv โŠข ( ๐‘ก = ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ†’ ( โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) ) โ†” โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) ยท ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) ) ) )
30 29 anbi1d โŠข ( ๐‘ก = ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ†’ ( ( โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) ) โˆง ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) โ†” ( โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) ยท ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) ) โˆง ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) ) )
31 23 30 rspc2ev โŠข ( ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โˆˆ ( 0 [,] 1 ) โˆง ( โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) / ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) ยท ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) ) โˆง ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ( ๐‘˜ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) โ†ฆ ( ( ( ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) + ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ยท ( ๐ต โ€˜ ๐‘˜ ) ) โˆ’ ( ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘˜ ) ) ) / ( โˆš โ€˜ ฮฃ ๐‘ โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ด โ€˜ ๐‘ ) โˆ’ ( ๐ต โ€˜ ๐‘ ) ) โ†‘ 2 ) ) ) ) โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) ) โ†’ โˆƒ ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆƒ ๐‘ก โˆˆ ( 0 [,] 1 ) ( โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) ) โˆง ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) )
32 10 11 12 13 31 syl112anc โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ด โ‰  ๐ต ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ โˆƒ ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆƒ ๐‘ก โˆˆ ( 0 [,] 1 ) ( โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) ) โˆง ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) )
33 3 4 5 6 32 syl31anc โŠข ( ( ๐ด โ‰  ๐ต โˆง ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) ) โ†’ โˆƒ ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆƒ ๐‘ก โˆˆ ( 0 [,] 1 ) ( โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) ) โˆง ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) )
34 33 ex โŠข ( ๐ด โ‰  ๐ต โ†’ ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ โˆƒ ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆƒ ๐‘ก โˆˆ ( 0 [,] 1 ) ( โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) ) โˆง ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) ) )
35 2 34 pm2.61ine โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ โˆƒ ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆƒ ๐‘ก โˆˆ ( 0 [,] 1 ) ( โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) ) โˆง ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) )
36 simpllr โŠข ( ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) )
37 simplll โŠข ( ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) )
38 simpr โŠข ( ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) )
39 brbtwn โŠข ( ( ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ( ๐ต Btwn โŸจ ๐ด , ๐‘ฅ โŸฉ โ†” โˆƒ ๐‘ก โˆˆ ( 0 [,] 1 ) โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) ) ) )
40 36 37 38 39 syl3anc โŠข ( ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ( ๐ต Btwn โŸจ ๐ด , ๐‘ฅ โŸฉ โ†” โˆƒ ๐‘ก โˆˆ ( 0 [,] 1 ) โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) ) ) )
41 simplrl โŠข ( ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) )
42 simplrr โŠข ( ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) )
43 brcgr โŠข ( ( ( ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( โŸจ ๐ต , ๐‘ฅ โŸฉ Cgr โŸจ ๐ถ , ๐ท โŸฉ โ†” ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) )
44 36 38 41 42 43 syl22anc โŠข ( ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ( โŸจ ๐ต , ๐‘ฅ โŸฉ Cgr โŸจ ๐ถ , ๐ท โŸฉ โ†” ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) )
45 40 44 anbi12d โŠข ( ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ( ( ๐ต Btwn โŸจ ๐ด , ๐‘ฅ โŸฉ โˆง โŸจ ๐ต , ๐‘ฅ โŸฉ Cgr โŸจ ๐ถ , ๐ท โŸฉ ) โ†” ( โˆƒ ๐‘ก โˆˆ ( 0 [,] 1 ) โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) ) โˆง ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) ) )
46 r19.41v โŠข ( โˆƒ ๐‘ก โˆˆ ( 0 [,] 1 ) ( โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) ) โˆง ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) โ†” ( โˆƒ ๐‘ก โˆˆ ( 0 [,] 1 ) โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) ) โˆง ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) )
47 45 46 bitr4di โŠข ( ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โ†’ ( ( ๐ต Btwn โŸจ ๐ด , ๐‘ฅ โŸฉ โˆง โŸจ ๐ต , ๐‘ฅ โŸฉ Cgr โŸจ ๐ถ , ๐ท โŸฉ ) โ†” โˆƒ ๐‘ก โˆˆ ( 0 [,] 1 ) ( โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) ) โˆง ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) ) )
48 47 rexbidva โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ ( โˆƒ ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ( ๐ต Btwn โŸจ ๐ด , ๐‘ฅ โŸฉ โˆง โŸจ ๐ต , ๐‘ฅ โŸฉ Cgr โŸจ ๐ถ , ๐ท โŸฉ ) โ†” โˆƒ ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆƒ ๐‘ก โˆˆ ( 0 [,] 1 ) ( โˆ€ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) = ( ( ( 1 โˆ’ ๐‘ก ) ยท ( ๐ด โ€˜ ๐‘– ) ) + ( ๐‘ก ยท ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) ) โˆง ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ต โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐‘ฅ โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) = ฮฃ ๐‘– โˆˆ ( 1 ... ๐‘ ) ( ( ( ๐ถ โ€˜ ๐‘– ) โˆ’ ( ๐ท โ€˜ ๐‘– ) ) โ†‘ 2 ) ) ) )
49 35 48 mpbird โŠข ( ( ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ โˆƒ ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ( ๐ต Btwn โŸจ ๐ด , ๐‘ฅ โŸฉ โˆง โŸจ ๐ต , ๐‘ฅ โŸฉ Cgr โŸจ ๐ถ , ๐ท โŸฉ ) )
50 49 3adant1 โŠข ( ( ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ( ๐ด โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ต โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ๐ถ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) โˆง ๐ท โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ) ) โ†’ โˆƒ ๐‘ฅ โˆˆ ( ๐”ผ โ€˜ ๐‘ ) ( ๐ต Btwn โŸจ ๐ด , ๐‘ฅ โŸฉ โˆง โŸจ ๐ต , ๐‘ฅ โŸฉ Cgr โŸจ ๐ถ , ๐ท โŸฉ ) )