Theorem axtgcgrrflx

Description: Axiom of reflexivity of congruence, Axiom A1 of Schwabhauser p. 10. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	axtrkg.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	axtrkg.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
	axtrkg.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	axtrkg.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	axtgcgrrflx.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
	axtgcgrrflx.2	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
Assertion	axtgcgrrflx	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝑌 ) = ( 𝑌 − 𝑋 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axtrkg.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		axtrkg.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
3		axtrkg.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4		axtrkg.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
5		axtgcgrrflx.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
6		axtgcgrrflx.2	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
7		df-trkg	⊢ TarskiG = ( ( TarskiGC ∩ TarskiGB ) ∩ ( TarskiGCB ∩ { 𝑓 ∣ [ ( Base ‘ 𝑓 ) / 𝑝 ] [ ( Itv ‘ 𝑓 ) / 𝑖 ] ( LineG ‘ 𝑓 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑝 , 𝑦 ∈ ( 𝑝 ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ 𝑝 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝑖 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑧 ) ) } ) } ) )
8		inss1	⊢ ( ( TarskiGC ∩ TarskiGB ) ∩ ( TarskiGCB ∩ { 𝑓 ∣ [ ( Base ‘ 𝑓 ) / 𝑝 ] [ ( Itv ‘ 𝑓 ) / 𝑖 ] ( LineG ‘ 𝑓 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑝 , 𝑦 ∈ ( 𝑝 ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ 𝑝 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝑖 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑧 ) ) } ) } ) ) ⊆ ( TarskiGC ∩ TarskiGB )
9		inss1	⊢ ( TarskiGC ∩ TarskiGB ) ⊆ TarskiGC
10	8 9	sstri	⊢ ( ( TarskiGC ∩ TarskiGB ) ∩ ( TarskiGCB ∩ { 𝑓 ∣ [ ( Base ‘ 𝑓 ) / 𝑝 ] [ ( Itv ‘ 𝑓 ) / 𝑖 ] ( LineG ‘ 𝑓 ) = ( 𝑥 ∈ 𝑝 , 𝑦 ∈ ( 𝑝 ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ 𝑝 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝑖 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝑖 𝑧 ) ) } ) } ) ) ⊆ TarskiGC
11	7 10	eqsstri	⊢ TarskiG ⊆ TarskiGC
12	11 4	sselid	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGC )
13	1 2 3	istrkgc	⊢ ( 𝐺 ∈ TarskiGC ↔ ( 𝐺 ∈ V ∧ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑃 ∀ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑥 − 𝑦 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑃 ∀ 𝑦 ∈ 𝑃 ∀ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝑥 − 𝑦 ) = ( 𝑧 − 𝑧 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) ) )
14	13	simprbi	⊢ ( 𝐺 ∈ TarskiGC → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑃 ∀ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑥 − 𝑦 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝑃 ∀ 𝑦 ∈ 𝑃 ∀ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝑥 − 𝑦 ) = ( 𝑧 − 𝑧 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) )
15	14	simpld	⊢ ( 𝐺 ∈ TarskiGC → ∀ 𝑥 ∈ 𝑃 ∀ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑥 − 𝑦 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) )
16	12 15	syl	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝑃 ∀ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑥 − 𝑦 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) )
17		oveq1	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝑦 ) )
18		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑦 − 𝑥 ) = ( 𝑦 − 𝑋 ) )
19	17 18	eqeq12d	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( ( 𝑥 − 𝑦 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ↔ ( 𝑋 − 𝑦 ) = ( 𝑦 − 𝑋 ) ) )
20		oveq2	⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( 𝑋 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝑌 ) )
21		oveq1	⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( 𝑦 − 𝑋 ) = ( 𝑌 − 𝑋 ) )
22	20 21	eqeq12d	⊢ ( 𝑦 = 𝑌 → ( ( 𝑋 − 𝑦 ) = ( 𝑦 − 𝑋 ) ↔ ( 𝑋 − 𝑌 ) = ( 𝑌 − 𝑋 ) ) )
23	19 22	rspc2v	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑃 ∀ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑥 − 𝑦 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) → ( 𝑋 − 𝑌 ) = ( 𝑌 − 𝑋 ) ) )
24	5 6 23	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑃 ∀ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑥 − 𝑦 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) → ( 𝑋 − 𝑌 ) = ( 𝑌 − 𝑋 ) ) )
25	16 24	mpd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝑌 ) = ( 𝑌 − 𝑋 ) )