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Theorem ballotlemfrceq

Description: Value of F for a reverse counting ( RC ) . (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2017)

Ref Expression
Hypotheses ballotth.m ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o ⊢ 𝑂 = { 𝑐 ∈ 𝒫 ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑐 ) = 𝑀 }
ballotth.p ⊢ 𝑃 = ( 𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ( ( ♯ ‘ 𝑥 ) / ( ♯ ‘ 𝑂 ) ) )
ballotth.f ⊢ 𝐹 = ( 𝑐 ∈ 𝑂 ↦ ( 𝑖 ∈ ℤ ↦ ( ( ♯ ‘ ( ( 1 ... 𝑖 ) ∩ 𝑐 ) ) − ( ♯ ‘ ( ( 1 ... 𝑖 ) ∖ 𝑐 ) ) ) ) )
ballotth.e ⊢ 𝐸 = { 𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) 0 < ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ‘ 𝑖 ) }
ballotth.mgtn ⊢ 𝑁 < 𝑀
ballotth.i ⊢ 𝐼 = ( 𝑐 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ↦ inf ( { 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∣ ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ‘ 𝑘 ) = 0 } , ℝ , < ) )
ballotth.s ⊢ 𝑆 = ( 𝑐 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ↦ ( 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ↦ if ( 𝑖 ≤ ( 𝐼 ‘ 𝑐 ) , ( ( ( 𝐼 ‘ 𝑐 ) + 1 ) − 𝑖 ) , 𝑖 ) ) )
ballotth.r ⊢ 𝑅 = ( 𝑐 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ↦ ( ( 𝑆 ‘ 𝑐 ) “ 𝑐 ) )
ballotlemg ⊢ ↑ = ( 𝑢 ∈ Fin , 𝑣 ∈ Fin ↦ ( ( ♯ ‘ ( 𝑣 ∩ 𝑢 ) ) − ( ♯ ‘ ( 𝑣 ∖ 𝑢 ) ) ) )
Assertion ballotlemfrceq ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) = - ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ) ‘ 𝐽 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ballotth.m ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o ⊢ 𝑂 = { 𝑐 ∈ 𝒫 ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑐 ) = 𝑀 }
4 ballotth.p ⊢ 𝑃 = ( 𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ( ( ♯ ‘ 𝑥 ) / ( ♯ ‘ 𝑂 ) ) )
5 ballotth.f ⊢ 𝐹 = ( 𝑐 ∈ 𝑂 ↦ ( 𝑖 ∈ ℤ ↦ ( ( ♯ ‘ ( ( 1 ... 𝑖 ) ∩ 𝑐 ) ) − ( ♯ ‘ ( ( 1 ... 𝑖 ) ∖ 𝑐 ) ) ) ) )
6 ballotth.e ⊢ 𝐸 = { 𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) 0 < ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ‘ 𝑖 ) }
7 ballotth.mgtn ⊢ 𝑁 < 𝑀
8 ballotth.i ⊢ 𝐼 = ( 𝑐 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ↦ inf ( { 𝑘 ∈ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∣ ( ( 𝐹 ‘ 𝑐 ) ‘ 𝑘 ) = 0 } , ℝ , < ) )
9 ballotth.s ⊢ 𝑆 = ( 𝑐 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ↦ ( 𝑖 ∈ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ↦ if ( 𝑖 ≤ ( 𝐼 ‘ 𝑐 ) , ( ( ( 𝐼 ‘ 𝑐 ) + 1 ) − 𝑖 ) , 𝑖 ) ) )
10 ballotth.r ⊢ 𝑅 = ( 𝑐 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ↦ ( ( 𝑆 ‘ 𝑐 ) “ 𝑐 ) )
11 ballotlemg ⊢ ↑ = ( 𝑢 ∈ Fin , 𝑣 ∈ Fin ↦ ( ( ♯ ‘ ( 𝑣 ∩ 𝑢 ) ) − ( ♯ ‘ ( 𝑣 ∖ 𝑢 ) ) ) )
12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ballotlemsel1i ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) )
13 1zzd ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → 1 ∈ ℤ )
14 1 2 3 4 5 6 7 8 ballotlemiex ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) = 0 ) )
15 14 adantr ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) = 0 ) )
16 15 simpld ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
17 16 elfzelzd ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ∈ ℤ )
18 elfzuz3 ⊢ ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) )
19 fzss2 ⊢ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) → ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ⊆ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
20 16 18 19 3syl ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ⊆ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
21 simpr ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) )
22 20 21 sseldd ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ballotlemsdom ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
24 22 23 syldan ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
25 24 elfzelzd ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ∈ ℤ )
26 fzsubel ⊢ ( ( ( 1 ∈ ℤ ∧ ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ∈ ℤ ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ↔ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ∈ ( ( 1 − 1 ) ... ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ) ) )
27 13 17 25 13 26 syl22anc ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ↔ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ∈ ( ( 1 − 1 ) ... ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ) ) )
28 12 27 mpbid ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ∈ ( ( 1 − 1 ) ... ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ) )
29 1m1e0 ⊢ ( 1 − 1 ) = 0
30 29 oveq1i ⊢ ( ( 1 − 1 ) ... ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ) = ( 0 ... ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) )
31 28 30 eleqtrdi ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ) )
32 14 simpld ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
33 32 elfzelzd ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ∈ ℤ )
34 1zzd ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → 1 ∈ ℤ )
35 33 34 zsubcld ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ∈ ℤ )
36 nnaddcl ⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ )
37 1 2 36 mp2an ⊢ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℕ
38 37 nnzi ⊢ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ
39 38 a1i ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ )
40 elfzle2 ⊢ ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) )
41 32 40 syl ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) )
42 zlem1lt ⊢ ( ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ↔ ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) < ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
43 33 39 42 syl2anc ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ↔ ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) < ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
44 35 zred ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ∈ ℝ )
45 39 zred ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℝ )
46 ltle ⊢ ( ( ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℝ ) → ( ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) < ( 𝑀 + 𝑁 ) → ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
47 44 45 46 syl2anc ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → ( ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) < ( 𝑀 + 𝑁 ) → ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
48 43 47 sylbid ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) → ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
49 41 48 mpd ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) )
50 eluz2 ⊢ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ) ↔ ( ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ≤ ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
51 35 39 49 50 syl3anbrc ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ) )
52 fzss2 ⊢ ( ( 𝑀 + 𝑁 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ) → ( 0 ... ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ) ⊆ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
53 51 52 syl ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → ( 0 ... ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ) ⊆ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
54 53 sselda ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) − 1 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
55 31 54 syldan ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
56 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ballotlemfg ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) = ( 𝐶 ↑ ( 1 ... ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) ) )
57 55 56 syldan ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) = ( 𝐶 ↑ ( 1 ... ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) ) )
58 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ballotlemfrc ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ) ‘ 𝐽 ) = ( 𝐶 ↑ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) )
59 57 58 oveq12d ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) + ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ) ‘ 𝐽 ) ) = ( ( 𝐶 ↑ ( 1 ... ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) ) + ( 𝐶 ↑ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) ) )
60 fzsplit3 ⊢ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) → ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) = ( ( 1 ... ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) ∪ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) )
61 12 60 syl ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) = ( ( 1 ... ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) ∪ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) )
62 61 oveq2d ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐶 ↑ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) = ( 𝐶 ↑ ( ( 1 ... ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) ∪ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) ) )
63 fz1ssfz0 ⊢ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ⊆ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) )
64 63 sseli ⊢ ( ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
65 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ballotlemfg ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ∈ ( 0 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) = ( 𝐶 ↑ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) )
66 64 65 sylan2 ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ∈ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) = ( 𝐶 ↑ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) )
67 16 66 syldan ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) = ( 𝐶 ↑ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) )
68 15 simprd ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) = 0 )
69 67 68 eqtr3d ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐶 ↑ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) = 0 )
70 fzfi ⊢ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∈ Fin
71 eldifi ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → 𝐶 ∈ 𝑂 )
72 1 2 3 ballotlemelo ⊢ ( 𝐶 ∈ 𝑂 ↔ ( 𝐶 ⊆ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∧ ( ♯ ‘ 𝐶 ) = 𝑀 ) )
73 72 simplbi ⊢ ( 𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ⊆ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
74 71 73 syl ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → 𝐶 ⊆ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) )
75 ssfi ⊢ ( ( ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ∈ Fin ∧ 𝐶 ⊆ ( 1 ... ( 𝑀 + 𝑁 ) ) ) → 𝐶 ∈ Fin )
76 70 74 75 sylancr ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → 𝐶 ∈ Fin )
77 76 adantr ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝐶 ∈ Fin )
78 fzfid ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 1 ... ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) ∈ Fin )
79 fzfid ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ∈ Fin )
80 25 zred ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ∈ ℝ )
81 ltm1 ⊢ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ∈ ℝ → ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) < ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) )
82 fzdisj ⊢ ( ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) < ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) → ( ( 1 ... ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) ∩ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) = ∅ )
83 80 81 82 3syl ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( 1 ... ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) ∩ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) = ∅ )
84 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 77 78 79 83 ballotlemgun ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝐶 ↑ ( ( 1 ... ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) ∪ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) ) = ( ( 𝐶 ↑ ( 1 ... ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) ) + ( 𝐶 ↑ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) ) )
85 62 69 84 3eqtr3rd ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝐶 ↑ ( 1 ... ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) ) + ( 𝐶 ↑ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) ) = 0 )
86 59 85 eqtrd ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) + ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ) ‘ 𝐽 ) ) = 0 )
87 71 adantr ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝑂 )
88 25 13 zsubcld ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ∈ ℤ )
89 1 2 3 4 5 87 88 ballotlemfelz ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) ∈ ℤ )
90 89 zcnd ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) ∈ ℂ )
91 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ballotlemro ⊢ ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∈ 𝑂 )
92 91 adantr ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ∈ 𝑂 )
93 21 elfzelzd ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → 𝐽 ∈ ℤ )
94 1 2 3 4 5 92 93 ballotlemfelz ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ) ‘ 𝐽 ) ∈ ℤ )
95 94 zcnd ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ) ‘ 𝐽 ) ∈ ℂ )
96 addeq0 ⊢ ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ) ‘ 𝐽 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) + ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ) ‘ 𝐽 ) ) = 0 ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) = - ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ) ‘ 𝐽 ) ) )
97 90 95 96 syl2anc ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) + ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ) ‘ 𝐽 ) ) = 0 ↔ ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) = - ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ) ‘ 𝐽 ) ) )
98 86 97 mpbid ⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝑂 ∖ 𝐸 ) ∧ 𝐽 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 ‘ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝐶 ) ‘ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝐶 ) ‘ 𝐽 ) − 1 ) ) = - ( ( 𝐹 ‘ ( 𝑅 ‘ 𝐶 ) ) ‘ 𝐽 ) )