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Theorem blssp

Description: A ball in the subspace metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jan-2014)

Ref Expression
Hypothesis blssp.2 ⊒ 𝑁 = ( 𝑀 β†Ύ ( 𝑆 Γ— 𝑆 ) )
Assertion blssp ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ) ∧ ( π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) β†’ ( π‘Œ ( ball β€˜ 𝑁 ) 𝑅 ) = ( ( π‘Œ ( ball β€˜ 𝑀 ) 𝑅 ) ∩ 𝑆 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 blssp.2 ⊒ 𝑁 = ( 𝑀 β†Ύ ( 𝑆 Γ— 𝑆 ) )
2 metxmet ⊒ ( 𝑀 ∈ ( Met β€˜ 𝑋 ) β†’ 𝑀 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) )
3 2 ad2antrr ⊒ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ) ∧ ( π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) β†’ 𝑀 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) )
4 simprl ⊒ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ) ∧ ( π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆 )
5 simplr ⊒ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ) ∧ ( π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋 )
6 sseqin2 ⊒ ( 𝑆 βŠ† 𝑋 ↔ ( 𝑋 ∩ 𝑆 ) = 𝑆 )
7 5 6 sylib ⊒ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ) ∧ ( π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) β†’ ( 𝑋 ∩ 𝑆 ) = 𝑆 )
8 4 7 eleqtrrd ⊒ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ) ∧ ( π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) β†’ π‘Œ ∈ ( 𝑋 ∩ 𝑆 ) )
9 rpxr ⊒ ( 𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ* )
10 9 ad2antll ⊒ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ) ∧ ( π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) β†’ 𝑅 ∈ ℝ* )
11 1 blres ⊒ ( ( 𝑀 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ π‘Œ ∈ ( 𝑋 ∩ 𝑆 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) β†’ ( π‘Œ ( ball β€˜ 𝑁 ) 𝑅 ) = ( ( π‘Œ ( ball β€˜ 𝑀 ) 𝑅 ) ∩ 𝑆 ) )
12 3 8 10 11 syl3anc ⊒ ( ( ( 𝑀 ∈ ( Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ) ∧ ( π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ) ) β†’ ( π‘Œ ( ball β€˜ 𝑁 ) 𝑅 ) = ( ( π‘Œ ( ball β€˜ 𝑀 ) 𝑅 ) ∩ 𝑆 ) )