Theorem br1cnvres

Description: Binary relation on the converse of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Jul-2019)

	Ref	Expression
Assertion	br1cnvres	⊢ ( 𝐵 ∈ 𝑉 → ( 𝐵 ◡ ( 𝑅 ↾ 𝐴 ) 𝐶 ↔ ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 𝑅 𝐵 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res	⊢ ( 𝑅 ↾ 𝐴 ) = ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × V ) )
2	1	cnveqi	⊢ ◡ ( 𝑅 ↾ 𝐴 ) = ◡ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × V ) )
3	2	breqi	⊢ ( 𝐵 ◡ ( 𝑅 ↾ 𝐴 ) 𝐶 ↔ 𝐵 ◡ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × V ) ) 𝐶 )
4		elex	⊢ ( 𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ V )
5		br1cnvinxp	⊢ ( 𝐵 ◡ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × V ) ) 𝐶 ↔ ( ( 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐶 𝑅 𝐵 ) )
6		anass	⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝐶 𝑅 𝐵 ) ↔ ( 𝐵 ∈ V ∧ ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 𝑅 𝐵 ) ) )
7	5 6	bitri	⊢ ( 𝐵 ◡ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × V ) ) 𝐶 ↔ ( 𝐵 ∈ V ∧ ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 𝑅 𝐵 ) ) )
8	7	baib	⊢ ( 𝐵 ∈ V → ( 𝐵 ◡ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × V ) ) 𝐶 ↔ ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 𝑅 𝐵 ) ) )
9	4 8	syl	⊢ ( 𝐵 ∈ 𝑉 → ( 𝐵 ◡ ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × V ) ) 𝐶 ↔ ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 𝑅 𝐵 ) ) )
10	3 9	bitrid	⊢ ( 𝐵 ∈ 𝑉 → ( 𝐵 ◡ ( 𝑅 ↾ 𝐴 ) 𝐶 ↔ ( 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 𝑅 𝐵 ) ) )