Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ax-his3 |
โข ( ( ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ โง ๐ด โ โ ) โ ( ( ๐ต ยทโ ๐ถ ) ยทih ๐ด ) = ( ๐ต ยท ( ๐ถ ยทih ๐ด ) ) ) |
2 |
1
|
3comr |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ ) โ ( ( ๐ต ยทโ ๐ถ ) ยทih ๐ด ) = ( ๐ต ยท ( ๐ถ ยทih ๐ด ) ) ) |
3 |
|
hvmulcl |
โข ( ( ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ ) โ ( ๐ต ยทโ ๐ถ ) โ โ ) |
4 |
|
braval |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( ๐ต ยทโ ๐ถ ) โ โ ) โ ( ( bra โ ๐ด ) โ ( ๐ต ยทโ ๐ถ ) ) = ( ( ๐ต ยทโ ๐ถ ) ยทih ๐ด ) ) |
5 |
3 4
|
sylan2 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ( ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ ) ) โ ( ( bra โ ๐ด ) โ ( ๐ต ยทโ ๐ถ ) ) = ( ( ๐ต ยทโ ๐ถ ) ยทih ๐ด ) ) |
6 |
5
|
3impb |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ ) โ ( ( bra โ ๐ด ) โ ( ๐ต ยทโ ๐ถ ) ) = ( ( ๐ต ยทโ ๐ถ ) ยทih ๐ด ) ) |
7 |
|
braval |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ ) โ ( ( bra โ ๐ด ) โ ๐ถ ) = ( ๐ถ ยทih ๐ด ) ) |
8 |
7
|
3adant2 |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ ) โ ( ( bra โ ๐ด ) โ ๐ถ ) = ( ๐ถ ยทih ๐ด ) ) |
9 |
8
|
oveq2d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ ) โ ( ๐ต ยท ( ( bra โ ๐ด ) โ ๐ถ ) ) = ( ๐ต ยท ( ๐ถ ยทih ๐ด ) ) ) |
10 |
2 6 9
|
3eqtr4d |
โข ( ( ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ ) โ ( ( bra โ ๐ด ) โ ( ๐ต ยทโ ๐ถ ) ) = ( ๐ต ยท ( ( bra โ ๐ด ) โ ๐ถ ) ) ) |