Metamath Proof Explorer


Theorem bramul

Description: Linearity property of bra for multiplication. (Contributed by NM, 23-May-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion bramul ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ( bra โ€˜ ๐ด ) โ€˜ ( ๐ต ยทโ„Ž ๐ถ ) ) = ( ๐ต ยท ( ( bra โ€˜ ๐ด ) โ€˜ ๐ถ ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ax-his3 โŠข ( ( ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ( ๐ต ยทโ„Ž ๐ถ ) ยทih ๐ด ) = ( ๐ต ยท ( ๐ถ ยทih ๐ด ) ) )
2 1 3comr โŠข ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ( ๐ต ยทโ„Ž ๐ถ ) ยทih ๐ด ) = ( ๐ต ยท ( ๐ถ ยทih ๐ด ) ) )
3 hvmulcl โŠข ( ( ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ๐ต ยทโ„Ž ๐ถ ) โˆˆ โ„‹ )
4 braval โŠข ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ( ๐ต ยทโ„Ž ๐ถ ) โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ( bra โ€˜ ๐ด ) โ€˜ ( ๐ต ยทโ„Ž ๐ถ ) ) = ( ( ๐ต ยทโ„Ž ๐ถ ) ยทih ๐ด ) )
5 3 4 sylan2 โŠข ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ( ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹ ) ) โ†’ ( ( bra โ€˜ ๐ด ) โ€˜ ( ๐ต ยทโ„Ž ๐ถ ) ) = ( ( ๐ต ยทโ„Ž ๐ถ ) ยทih ๐ด ) )
6 5 3impb โŠข ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ( bra โ€˜ ๐ด ) โ€˜ ( ๐ต ยทโ„Ž ๐ถ ) ) = ( ( ๐ต ยทโ„Ž ๐ถ ) ยทih ๐ด ) )
7 braval โŠข ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ( bra โ€˜ ๐ด ) โ€˜ ๐ถ ) = ( ๐ถ ยทih ๐ด ) )
8 7 3adant2 โŠข ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ( bra โ€˜ ๐ด ) โ€˜ ๐ถ ) = ( ๐ถ ยทih ๐ด ) )
9 8 oveq2d โŠข ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ๐ต ยท ( ( bra โ€˜ ๐ด ) โ€˜ ๐ถ ) ) = ( ๐ต ยท ( ๐ถ ยทih ๐ด ) ) )
10 2 6 9 3eqtr4d โŠข ( ( ๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹ ) โ†’ ( ( bra โ€˜ ๐ด ) โ€˜ ( ๐ต ยทโ„Ž ๐ถ ) ) = ( ๐ต ยท ( ( bra โ€˜ ๐ด ) โ€˜ ๐ถ ) ) )