Theorem btwncolg1

Description: Betweenness implies colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	tglngval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	tglngval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
	tglngval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	tglngval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	tglngval.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
	tglngval.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
	tgcolg.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃 )
	btwncolg1.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) )
Assertion	btwncolg1	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ∨ 𝑋 = 𝑌 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		tglngval.l	⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 )
3		tglngval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4		tglngval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
5		tglngval.x	⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
6		tglngval.y	⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
7		tgcolg.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃 )
8		btwncolg1.z	⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) )
9	8	3mix1d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) )
10	1 2 3 4 5 6 7	tgcolg	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ∨ 𝑋 = 𝑌 ) ↔ ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝑍 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝑋 𝐼 𝑍 ) ) ) )
11	9 10	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ∈ ( 𝑋 𝐿 𝑌 ) ∨ 𝑋 = 𝑌 ) )