Theorem btwnleg

Description: Betweenness implies less-than relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jul-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	legval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	legval.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
	legval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	legval.l	⊢ ≤ = ( ≤G ‘ 𝐺 )
	legval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	legid.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
	legid.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
	legtrd.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 )
	btwnleg.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) )
Assertion	btwnleg	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐴 − 𝐶 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		legval.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
3		legval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4		legval.l	⊢ ≤ = ( ≤G ‘ 𝐺 )
5		legval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
6		legid.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
7		legid.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
8		legtrd.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 )
9		btwnleg.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) )
10		eqidd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) )
11		eleq1	⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ↔ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) )
12		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) )
13	12	eqeq2d	⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) ↔ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ) )
14	11 13	anbi12d	⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) ) ↔ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) )
15	14	rspcev	⊢ ( ( 𝐵 ∈ 𝑃 ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) ) )
16	7 9 10 15	syl12anc	⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) ) )
17	1 2 3 4 5 6 7 6 8	legov	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐴 − 𝐶 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) ) ) )
18	16 17	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐴 − 𝐶 ) )