Theorem cdleme16aN

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113, 3rd paragraph on p. 114, showing, in their notation, s \/ u =/= t \/ u. (Contributed by NM, 9-Oct-2012) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdleme11.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdleme11.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdleme11.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdleme11.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdleme11.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdleme11.u	⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
Assertion	cdleme16aN	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ≠ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme11.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		cdleme11.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		cdleme11.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4		cdleme11.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		cdleme11.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6		cdleme11.u	⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
7		simp1ll	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
8		simp22	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
9		simp23	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
10		simp1l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
11		simp1r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
12		simp21	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
13		simp31	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
14	1 2 3 4 5 6	lhpat2	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
15	10 11 12 13 14	syl112anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
16		simp32	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑆 ≠ 𝑇 )
17		simp33	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) )
18		eqid	⊢ ( LPlanes ‘ 𝐾 ) = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
19	1 2 4 18	lplni2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ ( LPlanes ‘ 𝐾 ) )
20	7 8 9 15 16 17 19	syl132anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ ( LPlanes ‘ 𝐾 ) )
21		eqid	⊢ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 )
22	2 4 18 21	lplnllnneN	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ ( LPlanes ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ≠ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
23	7 8 9 15 20 22	syl131anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ≠ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )