Theorem cdleme20y

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Utility lemma. (Contributed by NM, 17-Nov-2012) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdleme20z.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdleme20z.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdleme20z.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdleme20z.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion	cdleme20y	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑅 ) ) = 𝑅 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme20z.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		cdleme20z.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		cdleme20z.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4		cdleme20z.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		simp1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
6		simp22	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
7		simp23	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
8		simp21	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
9		simp3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) )
10	1 2 3 4	2llnma2rN	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑅 ) ) = 𝑅 )
11	5 6 7 8 9 10	syl131anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑅 ) ) = 𝑅 )