Theorem cdleme20zN

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Utility lemma. (Contributed by NM, 17-Nov-2012) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdleme20z.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdleme20z.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdleme20z.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdleme20z.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion	cdleme20zN	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑇 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme20z.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		cdleme20z.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		cdleme20z.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4		cdleme20z.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		hllat	⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat )
6	5	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
7		simp1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
8		simp22	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
9		simp21	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
10		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
11	10 2 4	hlatjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
12	7 8 9 11	syl3anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
13		simp23	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
14	10 4	atbase	⊢ ( 𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15	13 14	syl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16	10 3	latmcom	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑇 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑇 ) = ( 𝑇 ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ) )
17	6 12 15 16	syl3anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑇 ) = ( 𝑇 ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ) )
18		simp3r	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) )
19		hlcvl	⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat )
20	19	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝐾 ∈ CvLat )
21		simp3l	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑆 ≠ 𝑇 )
22	21	necomd	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ≠ 𝑆 )
23	1 2 4	cvlatexch1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ CvLat ∧ ( 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑇 ≠ 𝑆 ) → ( 𝑇 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) → 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) )
24	20 13 9 8 22 23	syl131anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( 𝑇 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) → 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) )
25	18 24	mtod	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) )
26		hlatl	⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
27	26	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝐾 ∈ AtLat )
28		eqid	⊢ ( 0. ‘ 𝐾 ) = ( 0. ‘ 𝐾 )
29	10 1 3 28 4	atnle	⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑇 ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
30	27 13 12 29	syl3anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ¬ 𝑇 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ↔ ( 𝑇 ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) ) )
31	25 30	mpbid	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( 𝑇 ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )
32	17 31	eqtrd	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑇 ) = ( 0. ‘ 𝐾 ) )