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Theorem cdleme32fva1

Description: Part of proof of Lemma D in Crawley p. 113. (Contributed by NM, 2-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme32.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdleme32.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme32.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme32.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme32.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdleme32.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleme32.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
cdleme32.c ⊢ 𝐶 = ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) )
cdleme32.d ⊢ 𝐷 = ( ( 𝑡 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
cdleme32.e ⊢ 𝐸 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐷 ∨ ( ( 𝑠 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
cdleme32.i ⊢ 𝐼 = ( ℩ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑦 = 𝐸 ) )
cdleme32.n ⊢ 𝑁 = if ( 𝑠 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , 𝐼 , 𝐶 )
cdleme32.o ⊢ 𝑂 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑥 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) ) )
cdleme32.f ⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊 ) , 𝑂 , 𝑥 ) )
Assertion cdleme32fva1 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑅 ) = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme32.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdleme32.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdleme32.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdleme32.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdleme32.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdleme32.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdleme32.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
8 cdleme32.c ⊢ 𝐶 = ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) )
9 cdleme32.d ⊢ 𝐷 = ( ( 𝑡 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
10 cdleme32.e ⊢ 𝐸 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐷 ∨ ( ( 𝑠 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
11 cdleme32.i ⊢ 𝐼 = ( ℩ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑦 = 𝐸 ) )
12 cdleme32.n ⊢ 𝑁 = if ( 𝑠 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , 𝐼 , 𝐶 )
13 cdleme32.o ⊢ 𝑂 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑥 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) ) )
14 cdleme32.f ⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊 ) , 𝑂 , 𝑥 ) )
15 simp2l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
16 1 5 atbase ⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝐵 )
17 15 16 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → 𝑅 ∈ 𝐵 )
18 simp3 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
19 simp2r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 )
20 13 14 cdleme31fv1s ⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑅 ) = ⦋ 𝑅 / 𝑥 ⦌ 𝑂 )
21 17 18 19 20 syl12anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑅 ) = ⦋ 𝑅 / 𝑥 ⦌ 𝑂 )
22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 cdleme32fva ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → ⦋ 𝑅 / 𝑥 ⦌ 𝑂 = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 )
23 21 22 eqtrd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑅 ) = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 )