Theorem cdleme39a

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Show that f(x) is one-to-one on P .\/ Q line. TODO: FIX COMMENT. E , Y , G , Z serve as f(t), f(u), f_t( R ), f_t( S ). Put hypotheses of cdleme38n in convention of cdleme32sn1awN . TODO see if this hypothesis conversion would be better if done earlier. (Contributed by NM, 15-Mar-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdleme39.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdleme39.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdleme39.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdleme39.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdleme39.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdleme39.u	⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
	cdleme39.e	⊢ 𝐸 = ( ( 𝑡 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
	cdleme39.g	⊢ 𝐺 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
	cdleme39a.v	⊢ 𝑉 = ( ( 𝑡 ∨ 𝐸 ) ∧ 𝑊 )
Assertion	cdleme39a	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐺 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) ∧ ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑡 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme39.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		cdleme39.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		cdleme39.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4		cdleme39.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		cdleme39.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6		cdleme39.u	⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
7		cdleme39.e	⊢ 𝐸 = ( ( 𝑡 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
8		cdleme39.g	⊢ 𝐺 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
9		cdleme39a.v	⊢ 𝑉 = ( ( 𝑡 ∨ 𝐸 ) ∧ 𝑊 )
10		simp11	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
11		simp12	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
12		simp13	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
13		simp2	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) )
14		simp3l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
15	1 2 3 4 5 6	cdleme4	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
16	10 11 12 13 14 15	syl131anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
17		simp3r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) )
18	1 2 3 4 5 6 7	cdleme2	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑡 ∨ 𝐸 ) ∧ 𝑊 ) = 𝑈 )
19	10 11 12 17 18	syl13anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑡 ∨ 𝐸 ) ∧ 𝑊 ) = 𝑈 )
20	9 19	eqtrid	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑉 = 𝑈 )
21	20	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
22	16 21	eqtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) )
23		simp11l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
24		simp2l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
25		simp3rl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑡 ∈ 𝐴 )
26	2 4	hlatjcom	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑡 ) = ( 𝑡 ∨ 𝑅 ) )
27	23 24 25 26	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑡 ) = ( 𝑡 ∨ 𝑅 ) )
28	27	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑡 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) )
29	28	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) = ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑡 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) )
30	22 29	oveq12d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) ) = ( ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) ∧ ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑡 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
31	8 30	eqtrid	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐺 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) ∧ ( 𝐸 ∨ ( ( 𝑡 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )