Theorem cdleme4a

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 114 top. G represents f_s(r). Auxiliary lemma derived from cdleme5 . We show f_s(r) <_ p \/ q. (Contributed by NM, 10-Nov-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdleme4.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdleme4.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdleme4.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdleme4.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdleme4.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdleme4.u	⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
	cdleme4.f	⊢ 𝐹 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) )
	cdleme4.g	⊢ 𝐺 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) )
Assertion	cdleme4a	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → 𝐺 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme4.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		cdleme4.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		cdleme4.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4		cdleme4.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5		cdleme4.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6		cdleme4.u	⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
7		cdleme4.f	⊢ 𝐹 = ( ( 𝑆 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) )
8		cdleme4.g	⊢ 𝐺 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) )
9		simp1l	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ HL )
10	9	hllatd	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ Lat )
11		simp21	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
12		simp22	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
13		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
14	13 2 4	hlatjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15	9 11 12 14	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16		simp1r	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
17		simp3	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
18	1 2 3 4 5 6 7 13	cdleme1b	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐹 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19	9 16 11 12 17 18	syl23anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → 𝐹 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20		simp23	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
21	13 2 4	hlatjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22	9 20 17 21	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23	13 5	lhpbase	⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
24	16 23	syl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25	13 3	latmcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
26	10 22 24 25	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
27	13 2	latjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
28	10 19 26 27	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
29	13 1 3	latmle1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
30	10 15 28 29	syl3anc	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐹 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
31	8 30	eqbrtrid	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → 𝐺 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )