Theorem cdlemefr32snb

Description: Show closure of [_ R / s ]_ N . (Contributed by NM, 28-Mar-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemefr27.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemefr27.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemefr27.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemefr27.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemefr27.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemefr27.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemefr27.u	⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
	cdlemefr27.c	⊢ 𝐶 = ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) )
	cdlemefr27.n	⊢ 𝑁 = if ( 𝑠 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , 𝐼 , 𝐶 )
Assertion	cdlemefr32snb	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ∈ 𝐵 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemefr27.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemefr27.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemefr27.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemefr27.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		cdlemefr27.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdlemefr27.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		cdlemefr27.u	⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
8		cdlemefr27.c	⊢ 𝐶 = ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) )
9		cdlemefr27.n	⊢ 𝑁 = if ( 𝑠 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , 𝐼 , 𝐶 )
10	1 2 3 4 5 6 7 8 9	cdlemefr32sn2aw	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → ( ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ ¬ ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ≤ 𝑊 ) )
11	10	simpld	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ∈ 𝐴 )
12	1 5	atbase	⊢ ( ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ∈ 𝐴 → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ∈ 𝐵 )
13	11 12	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ∈ 𝐵 )