Theorem cdlemefrs29bpre1

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 29-Mar-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemefrs27.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemefrs27.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemefrs27.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemefrs27.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemefrs27.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemefrs27.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemefrs27.eq	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝜑 ↔ 𝜓 ) )
	cdlemefrs27.nb	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝐵 )
	cdlemefrs27.rnb	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ∈ 𝐵 )
Assertion	cdlemefrs29bpre1	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemefrs27.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemefrs27.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemefrs27.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemefrs27.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		cdlemefrs27.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdlemefrs27.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		cdlemefrs27.eq	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝜑 ↔ 𝜓 ) )
8		cdlemefrs27.nb	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝐵 )
9		cdlemefrs27.rnb	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ∈ 𝐵 )
10	1 2 3 4 5 6 7 8	cdlemefrs29bpre0	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ↔ 𝑧 = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ) )
11	10	rexbidv	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ) )
12		risset	⊢ ( ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ∈ 𝐵 ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 )
13	11 12	bitr4di	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ↔ ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ∈ 𝐵 ) )
14	9 13	mpbird	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) )