Theorem cdlemeg46gfr

Description: TODO FIX COMMENT p. 116 penultimate line: g(f(r)) = r. (Contributed by NM, 4-Apr-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemef46g.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemef46g.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemef46g.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemef46g.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemef46g.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemef46g.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemef46g.u	⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
	cdlemef46g.d	⊢ 𝐷 = ( ( 𝑡 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
	cdlemefs46g.e	⊢ 𝐸 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐷 ∨ ( ( 𝑠 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
	cdlemef46g.f	⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊 ) , ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑥 ) → 𝑧 = ( if ( 𝑠 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , ( ℩ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑦 = 𝐸 ) ) , ⦋ 𝑠 / 𝑡 ⦌ 𝐷 ) ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) ) ) , 𝑥 ) )
	cdlemef46.v	⊢ 𝑉 = ( ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑊 )
	cdlemef46.n	⊢ 𝑁 = ( ( 𝑣 ∨ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) )
	cdlemefs46.o	⊢ 𝑂 = ( ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑁 ∨ ( ( 𝑢 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) )
	cdlemef46.g	⊢ 𝐺 = ( 𝑎 ∈ 𝐵 ↦ if ( ( 𝑄 ≠ 𝑃 ∧ ¬ 𝑎 ≤ 𝑊 ) , ( ℩ 𝑐 ∈ 𝐵 ∀ 𝑢 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑢 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑢 ∨ ( 𝑎 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑎 ) → 𝑐 = ( if ( 𝑢 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) , ( ℩ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑣 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) ) → 𝑏 = 𝑂 ) ) , ⦋ 𝑢 / 𝑣 ⦌ 𝑁 ) ∨ ( 𝑎 ∧ 𝑊 ) ) ) ) , 𝑎 ) )
Assertion	cdlemeg46gfr	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑅 ) ) = 𝑅 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemef46g.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemef46g.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemef46g.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemef46g.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		cdlemef46g.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdlemef46g.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		cdlemef46g.u	⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
8		cdlemef46g.d	⊢ 𝐷 = ( ( 𝑡 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
9		cdlemefs46g.e	⊢ 𝐸 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝐷 ∨ ( ( 𝑠 ∨ 𝑡 ) ∧ 𝑊 ) ) )
10		cdlemef46g.f	⊢ 𝐹 = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if ( ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊 ) , ( ℩ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑥 ) → 𝑧 = ( if ( 𝑠 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , ( ℩ 𝑦 ∈ 𝐵 ∀ 𝑡 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → 𝑦 = 𝐸 ) ) , ⦋ 𝑠 / 𝑡 ⦌ 𝐷 ) ∨ ( 𝑥 ∧ 𝑊 ) ) ) ) , 𝑥 ) )
11		cdlemef46.v	⊢ 𝑉 = ( ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) ∧ 𝑊 )
12		cdlemef46.n	⊢ 𝑁 = ( ( 𝑣 ∨ 𝑉 ) ∧ ( 𝑃 ∨ ( ( 𝑄 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) )
13		cdlemefs46.o	⊢ 𝑂 = ( ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) ∧ ( 𝑁 ∨ ( ( 𝑢 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑊 ) ) )
14		cdlemef46.g	⊢ 𝐺 = ( 𝑎 ∈ 𝐵 ↦ if ( ( 𝑄 ≠ 𝑃 ∧ ¬ 𝑎 ≤ 𝑊 ) , ( ℩ 𝑐 ∈ 𝐵 ∀ 𝑢 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑢 ≤ 𝑊 ∧ ( 𝑢 ∨ ( 𝑎 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑎 ) → 𝑐 = ( if ( 𝑢 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) , ( ℩ 𝑏 ∈ 𝐵 ∀ 𝑣 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑣 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑃 ) ) → 𝑏 = 𝑂 ) ) , ⦋ 𝑢 / 𝑣 ⦌ 𝑁 ) ∨ ( 𝑎 ∧ 𝑊 ) ) ) ) , 𝑎 ) )
15		eqid	⊢ ( ( 𝑅 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑅 ∨ ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ) ∧ 𝑊 )
16		eqid	⊢ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 )
17	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	cdlemeg46gfv	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑅 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ∨ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
18	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	cdlemeg46req	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → 𝑅 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑆 ) ∨ ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
19	17 18	eqtr4d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑅 ) ) = 𝑅 )