Theorem cdlemftr1

Description: Part of proof of Lemma G of Crawley p. 116, sixth line of third paragraph on p. 117: there is "a translation h, different from the identity, such that tr h =/= tr f." (Contributed by NM, 25-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemftr.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemftr.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemftr.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemftr.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion	cdlemftr1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemftr.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemftr.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
3		cdlemftr.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4		cdlemftr.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5	1 2 3 4	cdlemftr2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ) )
6		3simpa	⊢ ( ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ) → ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ) )
7	6	reximi	⊢ ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ) )
8	5 7	syl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ) )