Theorem cdlemftr2

Description: Special case of cdlemf showing existence of non-identity translation with trace different from any 2 given lattice elements. (Contributed by NM, 25-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemftr.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemftr.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemftr.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemftr.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion	cdlemftr2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemftr.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemftr.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
3		cdlemftr.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4		cdlemftr.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5	1 2 3 4	cdlemftr3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) ) )
6		simpl	⊢ ( ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) ) → 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
7		simpr1	⊢ ( ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 )
8		simpr2	⊢ ( ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 )
9	6 7 8	3jca	⊢ ( ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) ) → ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) )
10	9	reximi	⊢ ( ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) )
11	5 10	syl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑓 ∈ 𝑇 ( 𝑓 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑋 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ≠ 𝑌 ) )