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Theorem cdlemg12a

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 5-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemg12.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemg12.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemg12.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemg12.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg12.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg12.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
Assertion cdlemg12a ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ∨ 𝑈 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemg12.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemg12.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdlemg12.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemg12.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemg12.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemg12.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
8 simp1l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
9 simp21l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
10 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
11 simp31 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
12 1 4 5 6 ltrnat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
13 10 11 9 12 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
14 simp1r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
15 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
16 simp22l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
17 simp32 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑃 ≠ 𝑄 )
18 1 2 3 4 5 7 cdleme0a ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
19 8 14 15 16 17 18 syl212anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
20 simp33 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) )
21 1 2 3 4 2llnma3r ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) = 𝑈 )
22 8 9 13 19 20 21 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) = 𝑈 )
23 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
24 1 4 5 6 ltrncoat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ∈ 𝐴 )
25 10 23 11 9 24 syl121anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ∈ 𝐴 )
26 1 2 4 hlatlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → 𝑈 ≤ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ∨ 𝑈 ) )
27 8 25 19 26 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → 𝑈 ≤ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ∨ 𝑈 ) )
28 22 27 eqbrtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ≠ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ 𝑈 ) ) ≤ ( ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ∨ 𝑈 ) )