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Theorem cdlemg27a

Description: For use with case when ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( RF ) ) or ( P .\/ v ) ./\ ( Q .\/ ( RF ) ) is zero, letting us establish -. z .<_ W /\ z .<_ ( P .\/ v ) via 4atex . TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 28-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemg12.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemg12.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemg12.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemg12.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg12.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg12b.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion cdlemg27a ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ¬ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemg12.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemg12.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdlemg12.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemg12.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemg12.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemg12b.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 simp11 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
9 simp12 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
10 simp31 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
11 simp13 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) )
12 simp2r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
13 simp33 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 )
14 1 4 5 6 7 trlat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 )
15 8 9 12 13 14 syl112anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 )
16 1 5 6 7 trlle ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ 𝑊 )
17 8 12 16 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ 𝑊 )
18 1 2 4 5 lhp2atnle ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ 𝑊 ) ) → ¬ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) )
19 8 9 10 11 15 17 18 syl312anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ¬ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) )
20 simp11l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
21 simp12l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
22 simp13l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑣 ∈ 𝐴 )
23 1 2 4 hlatlej1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) → 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) )
24 20 21 22 23 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) )
25 simp32 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) )
26 20 hllatd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
27 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
28 27 4 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
29 21 28 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
30 simp2l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑧 ∈ 𝐴 )
31 27 4 atbase ⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
32 30 31 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
33 27 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
34 20 21 22 33 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
35 27 1 2 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑧 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) )
36 26 29 32 34 35 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) )
37 24 25 36 mpbi2and ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) )
38 27 4 atbase ⊢ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ 𝐴 → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
39 15 38 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
40 27 2 4 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
41 20 21 30 40 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
42 27 1 lattr ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) )
43 26 39 41 34 42 syl13anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) )
44 37 43 mpan2d ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) )
45 19 44 mtod ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ¬ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑧 ) )