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Theorem cdlemg29

Description: Eliminate ( FP ) =/= P and ( GP ) =/= P from cdlemg28 . TODO: would it be better to do this later? (Contributed by NM, 29-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemg12.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemg12.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemg12.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemg12.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg12.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg12b.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg31.n ⊢ 𝑁 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
cdlemg33.o ⊢ 𝑂 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
Assertion cdlemg29 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemg12.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdlemg12.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdlemg12.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemg12.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemg12.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemg12b.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemg31.n ⊢ 𝑁 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) )
9 cdlemg33.o ⊢ 𝑂 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
10 simpl11 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
11 simpl12 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
12 simpl13 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) )
13 simp23l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
14 13 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) = 𝑃 ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
15 simp23r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
16 15 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) = 𝑃 ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
17 simpr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) = 𝑃 )
18 1 2 3 4 5 6 7 cdlemg14f ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) = 𝑃 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )
19 10 11 12 14 16 17 18 syl123anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) = 𝑃 ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )
20 simpl11 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
21 simpl12 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
22 simpl13 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) )
23 13 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) = 𝑃 ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
24 15 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) = 𝑃 ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
25 simpr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) = 𝑃 ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) = 𝑃 )
26 1 2 3 4 5 6 7 cdlemg14g ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) = 𝑃 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )
27 20 21 22 23 24 25 26 syl123anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) = 𝑃 ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )
28 simpl1 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) )
29 simpl2 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) )
30 simp31l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝑧 ≠ 𝑁 )
31 30 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑧 ≠ 𝑁 )
32 simp31r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → 𝑧 ≠ 𝑂 )
33 32 adantr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑧 ≠ 𝑂 )
34 simpl32 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) )
35 31 33 34 3jca ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) )
36 simpl33 ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
37 simpr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) )
38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemg28 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )
39 28 29 35 36 37 38 syl113anc ⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )
40 19 27 39 pm2.61da2ne ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) ∧ ( ( 𝑧 ≠ 𝑁 ∧ 𝑧 ≠ 𝑂 ) ∧ 𝑧 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑣 ) ∧ ( 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ 𝑣 ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑄 ∨ ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑄 ) ) ) ∧ 𝑊 ) )