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Theorem cdlemg44a

Description: Part of proof of Lemma G of Crawley p. 116, fourth line of third paragraph on p. 117: "so fg(p) = gf(p)." (Contributed by NM, 3-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg44.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg44.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg44.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg44.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemg44.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion cdlemg44a ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg44.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2 cdlemg44.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
3 cdlemg44.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4 cdlemg44.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
5 cdlemg44.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 simp1l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
7 6 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
8 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
9 simp22 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
10 simp23l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
11 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
12 11 5 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
13 10 12 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
14 11 1 2 ltrncl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15 8 9 13 14 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
17 11 1 2 3 trlcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18 8 16 17 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 eqid ⊢ ( join ‘ 𝐾 ) = ( join ‘ 𝐾 )
20 11 19 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21 7 15 18 20 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 11 1 2 ltrncl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23 8 16 13 22 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
24 11 1 2 3 trlcl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
25 8 9 24 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
26 11 19 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
27 7 23 25 26 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
28 eqid ⊢ ( meet ‘ 𝐾 ) = ( meet ‘ 𝐾 )
29 11 28 latmcom ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) )
30 7 21 27 29 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) )
31 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
32 simp32 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 )
33 simp33 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
34 4 19 5 1 2 3 28 cdlemg43 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) )
35 8 16 9 31 32 33 34 syl123anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) = ( ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) )
36 simp31 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 )
37 33 necomd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) )
38 4 19 5 1 2 3 28 cdlemg43 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) )
39 8 9 16 31 36 37 38 syl123anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) = ( ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ( join ‘ 𝐾 ) ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ) ) )
40 30 35 39 3eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≠ 𝑃 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑃 ) ) )