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Theorem cdlemk20

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 22, p. 119 for the i=2, j=1 case. Note typo on line 22: f should be f_i. Our D , C , O , Q , U , V represent their f_1, f_2, k_1, k_2, sigma_1, sigma_2. (Contributed by NM, 5-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk1.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk1.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk1.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk1.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk1.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk1.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk1.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk1.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk1.s 𝑆 = ( 𝑓𝑇 ↦ ( 𝑖𝑇 ( 𝑖𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑓 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 𝐹 ) ) ) ) ) )
cdlemk1.o 𝑂 = ( 𝑆𝐷 )
cdlemk1.u 𝑈 = ( 𝑒𝑇 ↦ ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑒 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 𝐷 ) ) ) ) ) )
cdlemk2a.q 𝑄 = ( 𝑆𝐶 )
Assertion cdlemk20 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑈𝐶 ) ‘ 𝑃 ) = ( 𝑄𝑃 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk1.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk1.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk1.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk1.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk1.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk1.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk1.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk1.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk1.s 𝑆 = ( 𝑓𝑇 ↦ ( 𝑖𝑇 ( 𝑖𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑓 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 𝐹 ) ) ) ) ) )
10 cdlemk1.o 𝑂 = ( 𝑆𝐷 )
11 cdlemk1.u 𝑈 = ( 𝑒𝑇 ↦ ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑒 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 𝐷 ) ) ) ) ) )
12 cdlemk2a.q 𝑄 = ( 𝑆𝐶 )
13 simp11 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
14 simp23 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) )
15 simp21r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → 𝐶𝑇 )
16 simp12 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → 𝐹𝑇 )
17 simp13 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → 𝐷𝑇 )
18 simp21l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → 𝑁𝑇 )
19 simp3r1 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) )
20 simp3r3 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) )
21 20 necomd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) )
22 19 21 jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) )
23 simp3l1 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
24 simp3l3 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
25 simp3l2 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
26 23 24 25 3jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
27 simp22 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemkuv2 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑈𝐶 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐶 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐶 𝐷 ) ) ) ) )
29 13 14 15 16 17 18 22 26 27 28 syl333anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑈𝐶 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐶 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐶 𝐷 ) ) ) ) )
30 2 3 5 6 7 8 trljat1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐶𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ( 𝑅𝐶 ) ) = ( 𝑃 ( 𝐶𝑃 ) ) )
31 13 15 27 30 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑃 ( 𝑅𝐶 ) ) = ( 𝑃 ( 𝐶𝑃 ) ) )
32 10 fveq1i ( 𝑂𝑃 ) = ( ( 𝑆𝐷 ) ‘ 𝑃 )
33 32 a1i ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑂𝑃 ) = ( ( 𝑆𝐷 ) ‘ 𝑃 ) )
34 6 7 8 trlcocnv ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐶𝑇𝐷𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐶 𝐷 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝐷 𝐶 ) ) )
35 13 15 17 34 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐶 𝐷 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝐷 𝐶 ) ) )
36 33 35 oveq12d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐶 𝐷 ) ) ) = ( ( ( 𝑆𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐷 𝐶 ) ) ) )
37 31 36 oveq12d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐶 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐶 𝐷 ) ) ) ) = ( ( 𝑃 ( 𝐶𝑃 ) ) ( ( ( 𝑆𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐷 𝐶 ) ) ) ) )
38 12 fveq1i ( 𝑄𝑃 ) = ( ( 𝑆𝐶 ) ‘ 𝑃 )
39 18 17 jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑁𝑇𝐷𝑇 ) )
40 simp3r2 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) )
41 40 19 jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) )
42 1 2 3 5 6 7 8 4 9 cdlemk12 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) → ( ( 𝑆𝐶 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝐶𝑃 ) ) ( ( ( 𝑆𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐷 𝐶 ) ) ) ) )
43 13 16 15 39 27 14 26 41 20 42 syl333anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑆𝐶 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝐶𝑃 ) ) ( ( ( 𝑆𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐷 𝐶 ) ) ) ) )
44 38 43 eqtr2id ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝐶𝑃 ) ) ( ( ( 𝑆𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐷 𝐶 ) ) ) ) = ( 𝑄𝑃 ) )
45 29 37 44 3eqtrd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) ) → ( ( 𝑈𝐶 ) ‘ 𝑃 ) = ( 𝑄𝑃 ) )