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Theorem cdlemk21N

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Lines 26-27, p. 119 for i=0 and j=1. (Contributed by NM, 5-Jul-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk1.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk1.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk1.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk1.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk1.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk1.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk1.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk1.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk1.s 𝑆 = ( 𝑓𝑇 ↦ ( 𝑖𝑇 ( 𝑖𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑓 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 𝐹 ) ) ) ) ) )
cdlemk1.o 𝑂 = ( 𝑆𝐷 )
cdlemk1.u 𝑈 = ( 𝑒𝑇 ↦ ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑒 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 𝐷 ) ) ) ) ) )
Assertion cdlemk21N ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( ( 𝑆𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑈𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk1.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk1.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk1.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk1.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk1.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk1.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk1.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk1.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk1.s 𝑆 = ( 𝑓𝑇 ↦ ( 𝑖𝑇 ( 𝑖𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑓 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 𝐹 ) ) ) ) ) )
10 cdlemk1.o 𝑂 = ( 𝑆𝐷 )
11 cdlemk1.u 𝑈 = ( 𝑒𝑇 ↦ ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑒 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 𝐷 ) ) ) ) ) )
12 simp11 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
13 simp21r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → 𝐺𝑇 )
14 simp22 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
15 2 3 5 6 7 8 trljat1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) = ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) )
16 12 13 14 15 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) = ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) )
17 10 fveq1i ( 𝑂𝑃 ) = ( ( 𝑆𝐷 ) ‘ 𝑃 )
18 17 a1i ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( 𝑂𝑃 ) = ( ( 𝑆𝐷 ) ‘ 𝑃 ) )
19 simp13 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → 𝐷𝑇 )
20 6 7 8 trlcocnv ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺𝑇𝐷𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐷 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝐷 𝐺 ) ) )
21 12 13 19 20 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐷 ) ) = ( 𝑅 ‘ ( 𝐷 𝐺 ) ) )
22 18 21 oveq12d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐷 ) ) ) = ( ( ( 𝑆𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐷 𝐺 ) ) ) )
23 16 22 oveq12d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐷 ) ) ) ) = ( ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) ( ( ( 𝑆𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐷 𝐺 ) ) ) ) )
24 simp23 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) )
25 simp12 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → 𝐹𝑇 )
26 simp21l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → 𝑁𝑇 )
27 simp3r1 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) )
28 simp3r2 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) )
29 28 necomd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) )
30 27 29 jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) )
31 simp3l1 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
32 simp3l3 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
33 simp3l2 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
34 31 32 33 3jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemkuv2 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑈𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐷 ) ) ) ) )
36 12 24 13 25 19 26 30 34 14 35 syl333anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( ( 𝑈𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐷 ) ) ) ) )
37 26 19 jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( 𝑁𝑇𝐷𝑇 ) )
38 simp3r3 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) )
39 38 27 jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) )
40 1 2 3 5 6 7 8 4 9 cdlemk12 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ) ) → ( ( 𝑆𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) ( ( ( 𝑆𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐷 𝐺 ) ) ) ) )
41 12 25 13 37 14 24 34 39 28 40 syl333anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( ( 𝑆𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) ( ( ( 𝑆𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐷 𝐺 ) ) ) ) )
42 23 36 41 3eqtr4rd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐷𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐷 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) ) → ( ( 𝑆𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑈𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )