Theorem cdlemk36

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 18-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk4.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemk4.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemk4.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemk4.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemk4.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemk4.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemk4.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk4.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk4.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
	cdlemk4.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
	cdlemk4.x	⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
Assertion	cdlemk36	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk4.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemk4.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemk4.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemk4.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		cdlemk4.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdlemk4.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		cdlemk4.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		cdlemk4.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9		cdlemk4.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
10		cdlemk4.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
11		cdlemk4.x	⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
12	11	eqcomi	⊢ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) ) = 𝑋
13		simpl1	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
14		simpl2	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
15		simpl3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
16		simpr1	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝑇 )
17		simpr2	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
18		simpr3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) )
19	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemk35	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑇 )
20	13 14 15 16 17 18 19	syl132anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑇 )
21	11 20	eqeltrrid	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) ) ∈ 𝑇 )
22	7	fvexi	⊢ 𝑇 ∈ V
23	22	riotaclbBAD	⊢ ( ∃! 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) ↔ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) ) ∈ 𝑇 )
24	21 23	sylibr	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃! 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
25		nfriota1	⊢ Ⅎ 𝑧 ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
26	11 25	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑧 𝑋
27		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑧 𝑇
28		nfv	⊢ Ⅎ 𝑧 ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
29		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑧 𝑃
30	26 29	nffv	⊢ Ⅎ 𝑧 ( 𝑋 ‘ 𝑃 )
31	30	nfeq1	⊢ Ⅎ 𝑧 ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) = 𝑌
32	28 31	nfim	⊢ Ⅎ 𝑧 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 )
33	27 32	nfralw	⊢ Ⅎ 𝑧 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 )
34		nfra1	⊢ Ⅎ 𝑏 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 )
35		nfcv	⊢ Ⅎ 𝑏 𝑇
36	34 35	nfriota	⊢ Ⅎ 𝑏 ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
37	11 36	nfcxfr	⊢ Ⅎ 𝑏 𝑋
38	37	nfeq2	⊢ Ⅎ 𝑏 𝑧 = 𝑋
39		fveq1	⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) )
40	39	eqeq1d	⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → ( ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ↔ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
41	40	imbi2d	⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → ( ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) ↔ ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) ) )
42	38 41	ralbid	⊢ ( 𝑧 = 𝑋 → ( ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) ↔ ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) ) )
43	26 33 42	riota2f	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ∃! 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) ) → ( ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) ↔ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) ) = 𝑋 ) )
44	20 24 43	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) ↔ ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) ) = 𝑋 ) )
45	12 44	mpbiri	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
46		rsp	⊢ ( ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) → ( 𝑏 ∈ 𝑇 → ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) ) )
47	45 46	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑏 ∈ 𝑇 → ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) ) )
48	47	impd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
49	48	3impia	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 )