Theorem cdlemk51

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 6, p. 120. G , I stand for g, h. X represents tau. TODO: Combine into cdlemk52 ? (Contributed by NM, 23-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
	cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
	cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
Assertion	cdlemk51	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ) ≤ ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemk5.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemk5.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemk5.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9		cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
10		cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
11		cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
12		simp11	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
13		simp12	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
14		simp3	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
15		simp21	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝑇 )
16		simp22	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
17		simp23	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) )
18	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemk39s	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) )
19	12 13 14 15 16 17 18	syl132anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) )
20		simp11l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
21	20	hllatd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
22	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemk35s	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
23	12 13 14 15 16 17 22	syl132anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
24	1 6 7 8	trlcl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
25	12 23 24	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
26		simp3l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐼 ∈ 𝑇 )
27		simp3r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
28	1 5 6 7 8	trlnidat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ∈ 𝐴 )
29	12 26 27 28	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ∈ 𝐴 )
30	1 5	atbase	⊢ ( ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ∈ 𝐴 → ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ∈ 𝐵 )
31	29 30	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ∈ 𝐵 )
32		simp13	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
33	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemk35s	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
34	12 13 32 15 16 17 33	syl132anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 )
35		simp22l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
36	2 5 6 7	ltrnat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
37	12 34 35 36	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
38	1 5	atbase	⊢ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
39	37 38	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
40	1 2 3	latjlej2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) → ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) )
41	21 25 31 39 40	syl13anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) → ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ) )
42	19 41	mpd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) )
43	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemk39s	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
44	12 13 32 15 16 17 43	syl132anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
45	1 6 7 8	trlcl	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
46	12 34 45	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
47		simp13l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
48		simp13r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
49	1 5 6 7 8	trlnidat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 )
50	12 47 48 49	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 )
51	1 5	atbase	⊢ ( ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 )
52	50 51	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 )
53	2 5 6 7	ltrnat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
54	12 23 35 53	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
55	1 5	atbase	⊢ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 → ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
56	54 55	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
57	1 2 3	latjlej2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) → ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) )
58	21 46 52 56 57	syl13anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) → ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) )
59	44 58	mpd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
60	1 3	latjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 )
61	21 39 25 60	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 )
62	1 3 5	hlatjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∈ 𝐵 )
63	20 37 29 62	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∈ 𝐵 )
64	1 3	latjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 )
65	21 56 46 64	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 )
66	1 3 5	hlatjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 ) → ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 )
67	20 54 50 66	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 )
68	1 2 4	latmlem12	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∈ 𝐵 ) ∧ ( ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ) ≤ ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) )
69	21 61 63 65 67 68	syl122anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ≤ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) → ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ) ≤ ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ) )
70	42 59 69	mp2and	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) ) ≤ ( ( ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐼 ) ) ∧ ( ( ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) )