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Theorem cdlemk53

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 7, p. 120. G , I stand for g, h. X represents tau. (Contributed by NM, 26-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk5.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk5.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk5.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk5.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk5.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk5.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.z 𝑍 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) )
cdlemk5.y 𝑌 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑔 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 𝑏 ) ) ) )
cdlemk5.x 𝑋 = ( 𝑧𝑇𝑏𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝑔 ) ) → ( 𝑧𝑃 ) = 𝑌 ) )
Assertion cdlemk53 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋 = ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk5.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk5.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk5.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk5.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk5.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk5.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk5.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk5.z 𝑍 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) )
10 cdlemk5.y 𝑌 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑔 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 𝑏 ) ) ) )
11 cdlemk5.x 𝑋 = ( 𝑧𝑇𝑏𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝑔 ) ) → ( 𝑧𝑃 ) = 𝑌 ) )
12 simp1l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
13 simp211 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝐹𝑇 )
14 simp212 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
15 13 14 jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
16 simp22 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝐺𝑇 )
17 simp213 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝑁𝑇 )
18 simp23 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
19 simp1r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) )
20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s-id ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝐺𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) → 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑇 )
21 12 15 16 17 18 19 20 syl132anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑇 )
22 1 6 7 ltrn1o ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑇 ) → 𝐺 / 𝑔 𝑋 : 𝐵1-1-onto𝐵 )
23 12 21 22 syl2anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝐺 / 𝑔 𝑋 : 𝐵1-1-onto𝐵 )
24 f1of ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 : 𝐵1-1-onto𝐵 𝐺 / 𝑔 𝑋 : 𝐵𝐵 )
25 fcoi1 ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 : 𝐵𝐵 → ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = 𝐺 / 𝑔 𝑋 )
26 23 24 25 3syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = 𝐺 / 𝑔 𝑋 )
27 26 adantr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = 𝐺 / 𝑔 𝑋 )
28 simpl1l ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
29 13 17 19 3jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) )
30 29 adantr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) )
31 simpl23 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
32 simpr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) )
33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemkid ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐼 / 𝑔 𝑋 = ( I ↾ 𝐵 ) )
34 28 30 31 32 33 syl112anc ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝐼 / 𝑔 𝑋 = ( I ↾ 𝐵 ) )
35 34 coeq2d ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) = ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
36 32 coeq2d ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐺𝐼 ) = ( 𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
37 1 6 7 ltrn1o ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺𝑇 ) → 𝐺 : 𝐵1-1-onto𝐵 )
38 12 16 37 syl2anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → 𝐺 : 𝐵1-1-onto𝐵 )
39 f1of ( 𝐺 : 𝐵1-1-onto𝐵𝐺 : 𝐵𝐵 )
40 fcoi1 ( 𝐺 : 𝐵𝐵 → ( 𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = 𝐺 )
41 38 39 40 3syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = 𝐺 )
42 41 adantr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = 𝐺 )
43 36 42 eqtrd ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐺𝐼 ) = 𝐺 )
44 43 csbeq1d ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋 = 𝐺 / 𝑔 𝑋 )
45 27 35 44 3eqtr4rd ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 = ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋 = ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) )
46 simpl1 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) )
47 simpl2 ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) )
48 simpl3l ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝐼𝑇 )
49 simpr ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
50 simpl3r ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) )
51 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk53b ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋 = ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) )
52 46 47 48 49 50 51 syl113anc ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) ∧ 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋 = ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) )
53 45 52 pm2.61dane ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇 ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐼 ) ) ) → ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋 = ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) )