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Theorem cdlemk8

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 26-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
Assertion cdlemk8 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdlemk.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdlemk.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 cdlemk.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
9 coass ⊢ ( ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∘ 𝐺 ) = ( 𝑋 ∘ ( ◡ 𝐺 ∘ 𝐺 ) )
10 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
11 simp2l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
12 1 5 6 ltrn1o ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → 𝐺 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
13 10 11 12 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐺 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
14 f1ococnv1 ⊢ ( 𝐺 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 → ( ◡ 𝐺 ∘ 𝐺 ) = ( I ↾ 𝐵 ) )
15 13 14 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ◡ 𝐺 ∘ 𝐺 ) = ( I ↾ 𝐵 ) )
16 15 coeq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ∘ ( ◡ 𝐺 ∘ 𝐺 ) ) = ( 𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
17 simp2r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑇 )
18 1 5 6 ltrn1o ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) → 𝑋 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
19 10 17 18 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑋 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 )
20 f1of ⊢ ( 𝑋 : 𝐵 –1-1-onto→ 𝐵 → 𝑋 : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
21 fcoi1 ⊢ ( 𝑋 : 𝐵 ⟶ 𝐵 → ( 𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = 𝑋 )
22 19 20 21 3syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵 ) ) = 𝑋 )
23 16 22 eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ∘ ( ◡ 𝐺 ∘ 𝐺 ) ) = 𝑋 )
24 9 23 eqtrid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∘ 𝐺 ) = 𝑋 )
25 24 fveq1d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) )
26 5 6 ltrncnv ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ◡ 𝐺 ∈ 𝑇 )
27 10 11 26 syl2anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ◡ 𝐺 ∈ 𝑇 )
28 5 6 ltrnco ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ◡ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∈ 𝑇 )
29 10 17 27 28 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∈ 𝑇 )
30 simp3l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
31 2 4 5 6 ltrncoval ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( ( ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) )
32 10 29 11 30 31 syl121anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) )
33 25 32 eqtr3d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) )
34 33 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) )
35 2 4 5 6 ltrnel ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) )
36 35 3adant2r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) )
37 2 3 4 5 6 7 trljat1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ∧ ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) )
38 10 29 36 37 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ) ) )
39 34 38 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) = ( ( 𝐺 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 ∘ ◡ 𝐺 ) ) ) )