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Theorem cdlemkoatnle-2N

Description: Utility lemma. (Contributed by NM, 2-Jul-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk2.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk2.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk2.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk2.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk2.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk2.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk2.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk2.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk2.s 𝑆 = ( 𝑓𝑇 ↦ ( 𝑖𝑇 ( 𝑖𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑓 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 𝐹 ) ) ) ) ) )
cdlemk2.q 𝑄 = ( 𝑆𝐶 )
Assertion cdlemkoatnle-2N ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑄𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑄𝑃 ) 𝑊 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk2.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk2.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk2.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk2.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk2.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk2.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk2.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk2.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk2.s 𝑆 = ( 𝑓𝑇 ↦ ( 𝑖𝑇 ( 𝑖𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑓 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 𝐹 ) ) ) ) ) )
10 cdlemk2.q 𝑄 = ( 𝑆𝐶 )
11 simp11 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
12 simp12 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝑊𝐻 )
13 11 12 jca ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
14 simp21 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐹𝑇 )
15 simp22 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐶𝑇 )
16 simp23 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝑁𝑇 )
17 simp33 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
18 simp13 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) )
19 simp32l ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
20 simp32r ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
21 simp31 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) )
22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cdlemkoatnle ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ) ) → ( ( 𝑄𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑄𝑃 ) 𝑊 ) )
23 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 syl333anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑄𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝑄𝑃 ) 𝑊 ) )