Metamath Proof Explorer

Theorem cdlemkuv2

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 16 on p. 119 for i = 1, where sigma_1 (p) is U , f_1 is D , and k_1 is O . (Contributed by NM, 2-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk1.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk1.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk1.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk1.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk1.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk1.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk1.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk1.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk1.s ⊢ 𝑆 = ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑖 ∈ 𝑇 ( 𝑖 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ) )
cdlemk1.o ⊢ 𝑂 = ( 𝑆 ‘ 𝐷 )
cdlemk1.u ⊢ 𝑈 = ( 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ) )
Assertion cdlemkuv2 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk1.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk1.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk1.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk1.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk1.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk1.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk1.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk1.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk1.s ⊢ 𝑆 = ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑖 ∈ 𝑇 ( 𝑖 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑓 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) ) )
10 cdlemk1.o ⊢ 𝑂 = ( 𝑆 ‘ 𝐷 )
11 cdlemk1.u ⊢ 𝑈 = ( 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ) )
12 simp13 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
13 1 2 3 5 6 7 8 4 11 cdlemksv ⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑇 → ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) = ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ) )
14 12 13 syl ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) = ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ) )
15 14 eqcomd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ) = ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) )
16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemkuel ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑇 )
17 simp11l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
18 simp11r ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
19 simp33 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cdlemk16a ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ≤ 𝑊 ) )
21 2 5 6 7 cdleme ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ≤ 𝑊 ) ) → ∃! 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) )
22 17 18 19 20 21 syl211anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ∃! 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) )
23 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑗 𝑇
24 nfriota1 ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) )
25 23 24 nfmpt ⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑒 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ) )
26 11 25 nfcxfr ⊢ Ⅎ 𝑗 𝑈
27 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑗 𝐺
28 26 27 nffv ⊢ Ⅎ 𝑗 ( 𝑈 ‘ 𝐺 )
29 nfcv ⊢ Ⅎ 𝑗 𝑃
30 28 29 nffv ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 )
31 30 nfeq1 ⊢ Ⅎ 𝑗 ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) )
32 fveq1 ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) → ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )
33 32 eqeq1d ⊢ ( 𝑗 = ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) → ( ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ) )
34 28 31 33 riota2f ⊢ ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ∧ ∃! 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ) → ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ↔ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ) = ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) )
35 16 22 34 syl2anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ↔ ( ℩ 𝑗 ∈ 𝑇 ( 𝑗 ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) ) = ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ) )
36 15 35 mpbird ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐷 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝐷 ) ) ) ) )